Uma empresa ferroviária irá transportar cargas de três tipos diferentes. A empresa transportadora colocou a disposição três containers com capacidades de peso e volume diferentes. O container A tem capacidade para 27 tonelada e 2500 pés cúbicos, o B de 24 toneladas e 1500 pés cúbicos, e o C com 26 toneladas e 1600 pés cúbicos. Da carga a ser transportada há do tipo I tem 32 toneladas e 88 pés cúbicos/tonelada; do tipo II 26 toneladas e 63 pés cúbicos/tonelada e a do tipo III, 29 toneladas e 59 pés cúbicos/tonelada. O lucro por tonelada transportada é de
e
, para as cargas dos tipos I, II e III, respectivamente. Como a carga deve ser distribuída para obter-se o lucro máximo.
Passo 1
Beleza, deixa eu recapitular o que o problema pede. Temos três containers:
- A com 27 t e 2500 ft³,
- B com 24 t e 1500 ft³,
- C com 26 t e 1600 ft³.
E três tipos de carga (que podemos fracionar à vontade):
- Tipo I: lucro $2000/t e ocupa 88 ft³/t,
- Tipo II: lucro $1800/t e ocupa 63 ft³/t,
- Tipo III: lucro $1600/t e ocupa 59 ft³/t.
O objetivo é, para cada container, decidir quantas toneladas de cada tipo colocar (variáveis contínuas) de modo a não ultrapassar nem o limite de peso nem de volume, e maximizar o lucro. A ideia é resolver cada container como um “knapsack” contínuo com duas restrições (peso e volume).
O que vamos precisar:
- Formar o problema de programação linear de cada container;
- Ver que, no caso contínuo, a solução ótima está num dos vértices definidos pelas interseções das restrições;
- Examinar as combinações possíveis (cada par de cargas, ou só uma) e escolher a que dá maior lucro.
Passo 2
Configuração geral (Container genérico com capacidade
toneladas e
ft³):
- Variáveis
= toneladas de tipos I, II e III. - Restrições:
-
(peso) -
(volume) -
-
- Função-objetivo:
.
Como é contínuo, basta olhar para os vértices dados pelas interseções das retas:
a) Apenas um tipo (por exemplo ),
b) Interseção das duas restrições usando dois tipos (e o terceiro zero).
a) Apenas um tipo (por exemplo
b) Interseção das duas restrições usando dois tipos (e o terceiro zero).
Passo 3
Resolver para o container A (
,
)
- Só tipo I: cabe até 27 t (peso), usa
ft³ (<2500), lucro = . - Só tipo II: até 27 t, volume =
<2500, lucro = . - Só tipo III: até 27 t, volume =
<2500, lucro = .
Agora testar mistura I+II (com
) na fronteira peso =27 e volume =2500:
• Das duas equações
• Substituindo :
(>27, não cabe).
Conclusão: nenhuma mistura I+II atinge simultaneamente peso e volume. Teste I+III e II+III dão negativos ou >27. Logo o melhor vértice é só tipo I.
• Das duas equações
• Substituindo
Conclusão: nenhuma mistura I+II atinge simultaneamente peso e volume. Teste I+III e II+III dão
Resposta container A:
x₁A = 27 t (tipo I); x₂A = 0; x₃A = 0; lucro = $54 000.
x₁A = 27 t (tipo I); x₂A = 0; x₃A = 0; lucro = $54 000.
Passo 4
Resolver para o container B (
,
)
- Só I: 24 t, ocupa 24·88=2112>1500 → inviável.
- Só II: 24·63=1512>1500 → inviável.
- Só III: 24·59=1416≤1500, lucro =
.
Mistura I+II (
) na fronteira peso=24, volume=1500:
→ (inviável).
→
Mistura II+III (
):
→ .
lucro = .
→
lucro =
Mistura I+III (
) dá
e lucro
.
O melhor é II+III.
Resposta container B:
x₁B = 0; x₂B = 21 t; x₃B = 3 t; lucro = $42 600.
x₁B = 0; x₂B = 21 t; x₃B = 3 t; lucro = $42 600.
Passo 5
Resolver para o container C (
,
)
- Só I: 26·88=2288>1600 → não.
- Só II: 26·63=1638>1600 → não.
- Só III: 26·59=1534≤1600, lucro =
.
Mistura II+III (
):
→ .
lucro = .
→
lucro =
Mistura I+III dá lucro menor (
), I+II é inviável.
Resposta container C:
x₁C = 0; x₂C = 16{,}5 t; x₃C = 9{,}5 t; lucro = $44 900.
x₁C = 0; x₂C = 16{,}5 t; x₃C = 9{,}5 t; lucro = $44 900.
Resposta
Container A: 27 t de tipo I (lucro $54 000)
Container B: 21 t de tipo II + 3 t de tipo III (lucro $42 600)
Container C: 16,5 t de tipo II + 9,5 t de tipo III (lucro $44 900)
Container B: 21 t de tipo II + 3 t de tipo III (lucro $42 600)
Container C: 16,5 t de tipo II + 9,5 t de tipo III (lucro $44 900)
Lucro total = $54 000 + $42 600 + $44 900 = $141 500.