Uma empresa ferroviária irá transportar cargas de três tipos diferentes. A empresa transportadora colocou a disposição três containers com capacidades de peso e volume diferentes. O container A tem capacidade para 27 tonelada e 2500 pés cúbicos, o B de 24 toneladas e 1500 pés cúbicos, e o C com 26 toneladas e 1600 pés cúbicos. Da carga a ser transportada há do tipo I tem 32 toneladas e 88 pés cúbicos/tonelada; do tipo II 26 toneladas e 63 pés cúbicos/tonelada e a do tipo III, 29 toneladas e 59 pés cúbicos/tonelada. O lucro por tonelada transportada é de e 1800, para as cargas dos tipos I, II e III, respectivamente. Como a carga deve ser distribuída para obter-se o lucro máximo.

Passo 1

Beleza, deixa eu recapitular o que o problema pede. Temos três containers:
  • A com 27 t e 2500 ft³,
  • B com 24 t e 1500 ft³,
  • C com 26 t e 1600 ft³.
E três tipos de carga (que podemos fracionar à vontade):
  • Tipo I: lucro $2000/t e ocupa 88 ft³/t,
  • Tipo II: lucro $1800/t e ocupa 63 ft³/t,
  • Tipo III: lucro $1600/t e ocupa 59 ft³/t.
O objetivo é, para cada container, decidir quantas toneladas de cada tipo colocar (variáveis contínuas) de modo a não ultrapassar nem o limite de peso nem de volume, e maximizar o lucro. A ideia é resolver cada container como um “knapsack” contínuo com duas restrições (peso e volume).
O que vamos precisar:
  1. Formar o problema de programação linear de cada container;
  2. Ver que, no caso contínuo, a solução ótima está num dos vértices definidos pelas interseções das restrições;
  3. Examinar as combinações possíveis (cada par de cargas, ou só uma) e escolher a que dá maior lucro.

Passo 2

Configuração geral (Container genérico com capacidade toneladas e ft³):
  • Variáveis = toneladas de tipos I, II e III.
  • Restrições:
    1. (peso)
    2. (volume)
  • Função-objetivo:
    .
Como é contínuo, basta olhar para os vértices dados pelas interseções das retas:
a) Apenas um tipo (por exemplo ),
b) Interseção das duas restrições usando dois tipos (e o terceiro zero).

Passo 3

Resolver para o container A ( 54 000) 2) Só tipo II: até 27 t, volume = (27·63=1701)<2500, lucro = (27·1800 = , 43 200) Agora testar mistura I+II (com (x3=0)) na fronteira peso =27 e volume =2500: Das duas equações (x1+x2=2788,x1+63,x2=2500) Substituindo (x2=27-x1): (88,x1 +63(27-x1)=2500 implies 25,x1 = 799 implies x1approx31,96) (>27, não cabe) Conclusão: nenhuma mistura I+II atin>= simu27 Logo o melhor vértice é **só tipo I** Resposta container A: x₁A = 27 t (tipo I); x₂A = 0; x₃A = 0; lucro = )
  1. Só tipo I: cabe até 27 t (peso), usa ft³ (<2500), lucro = .
  2. Só tipo II: até 27 t, volume = <2500, lucro = .
  3. Só tipo III: até 27 t, volume = <2500, lucro = .
Agora testar mistura I+II (com ) na fronteira peso =27 e volume =2500:
• Das duas equações

• Substituindo :
(>27, não cabe).
Conclusão: nenhuma mistura I+II atinge simultaneamente peso e volume. Teste I+III e II+III dão negativos ou >27. Logo o melhor vértice é só tipo I.
Resposta container A:
x₁A = 27 t (tipo I); x₂A = 0; x₃A = 0; lucro = $54 000.

Passo 4

Resolver para o container B ( 38 400) Mistura I+II ((x3=0)) na fronteira peso=24, volume=1500: (x1+x2=2488,x1+63,x2=1500) → (25,x1 = -12 implies x1<0) (inviável) Mistura II+III ((x1=0)): (x2+x3=2463,x2+59,x3=1500) → (4,x2 = 84 implies x2=21,;x3=3) lucro = (21·1800 + 3·1600 = 37 800 + 4 800 = , 39 558) O melhor é **II+III** Resposta container B: x₁B = 0; x₂B = 21 t; x₃B = 3 t; lucro = )
  1. Só I: 24 t, ocupa 24·88=2112>1500 → inviável.
  2. Só II: 24·63=1512>1500 → inviável.
  3. Só III: 24·59=1416≤1500, lucro = .
Mistura I+II ( ) na fronteira peso=24, volume=1500:

(inviável).
Mistura II+III ( ):

.
lucro = .
Mistura I+III ( ) dá e lucro .
O melhor é II+III.
Resposta container B:
x₁B = 0; x₂B = 21 t; x₃B = 3 t; lucro = $42 600.

Passo 5

Resolver para o container C ( 41 600) Mistura II+III ((x1=0)): (x2+x3=2663,x2+59,x3=1600) → (4,x2 = 66 implies x2=16,5,;x3=9,5) lucro = (16,5·1800 +9,5·1600 =29 700 +15 200 = , 42 510)), I+II é inviável Resposta container C: x₁C = 0; x₂C = 16,5 t; x₃C = 9,5 t; lucro = )
  1. Só I: 26·88=2288>1600 → não.
  2. Só II: 26·63=1638>1600 → não.
  3. Só III: 26·59=1534≤1600, lucro = .
Mistura II+III ( ):

.
lucro = .
Mistura I+III dá lucro menor ( ), I+II é inviável.
Resposta container C:
x₁C = 0; x₂C = 16{,}5 t; x₃C = 9{,}5 t; lucro = $44 900.

Resposta

Container A: 27 t de tipo I (lucro $54 000)
Container B: 21 t de tipo II + 3 t de tipo III (lucro $42 600)
Container C: 16,5 t de tipo II + 9,5 t de tipo III (lucro $44 900)
Lucro total = $54 000 + $42 600 + $44 900 = $141 500.

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