A placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a forma de dois cilindros concêntricos, com o catodo ocupando o cilindro central. O diâmetro do catodo é igual a 1,6 \mathrm{~mm} e o da placa mede 18 mm , sendo o comprimento de ambos os elementos igual a 2,4 \mathrm{~cm}. Calcule a capacitância do diodo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro do catodo (cilindro interno): 1,6\\ \mathrm{mm}.
    • diâmetro da placa (cilindro externo): 18\\ \mathrm{mm}.
    • comprimento de ambos os cilindros: 2,4\\ \mathrm{cm}.
    • meio entre os cilindros: vácuo (ou ar, considerar permitividade do vácuo).
  • Pedido:
    • Calcular a capacitância do diodo (ou seja, a capacitância entre os dois cilindros concêntricos).

Passo 2

Entendimento físico-matemático e estratégia (sem resolver ainda).
  • O sistema é um capacitor coaxial formado por dois cilindros concêntricos de comprimento L, raio interno a e raio externo b.
  • A estratégia padrão para encontrar a capacitância é:
    1. Calcular o campo elétrico \mathbf{E}(r) entre os cilindros usando a Lei de Gauss.
    2. Integrar o campo para obter a diferença de potencial V entre os cilindros.
    3. Usar C = Q/V, relacionando a carga total Q à densidade linear de carga \lambda e ao comprimento L.
  • Vou derivar a fórmula do capacitor coaxial e depois substituir os valores numéricos.

Passo 3

Derivação do campo elétrico entre cilindros por Gauss.
  • Considere a carga total no cilindro interno Q. Defina a densidade linear de carga \lambda tal que Q=\lambda L.
  • Para a<r<b (região entre os cilindros), escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A simetria faz com que \mathbf{E} seja radial e constante sobre essa superfície.
  • Aplicando a Lei de Gauss:
    \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
    A área lateral da superfície é A=2\pi r L. Logo
    E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
    Cancelando L,
    E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
  • Explicação didática rápida: \lambda é carga por unidade de comprimento (C/m), \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (unidade \mathrm{F/m}), e a dependência 1/r surge da simetria cilíndrica (campo decresce com distância radial).

Passo 4

Cálculo da diferença de potencial entre os cilindros.
  • A diferença de potencial (módulo) entre o cilindro externo e o interno é V=\int_a^b E(r)\,dr = \int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,dr.
  • Integrando: V=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Aqui \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right) é o logaritmo natural da razão dos raios.

Passo 5

Expressão da capacitância e significado das variáveis.
  • Capacitância definida por C=\dfrac{Q}{V}. Como Q=\lambda L, C=\frac{\lambda L}{V}=\frac{\lambda L}{\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)} =\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Interpretação: C cresce com o comprimento L, é proporcional a \varepsilon_0 (quanto maior a permissividade, maior a capacitância) e diminui quando a razão b/a aumenta (mais separação radial diminui C).

Passo 6

Converter os valores do enunciado para o SI e identificar a, b, L.
  • Diâmetro do catodo =1,6\\ \mathrm{mm}\Rightarrow raio interno a=\frac{1,6\\ \mathrm{mm}}{2}=0,8\\ \mathrm{mm} = 0,8\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,0008\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da placa =18\\ \mathrm{mm}\Rightarrow raio externo b=\frac{18\\ \mathrm{mm}}{2}=9\\ \mathrm{mm} = 9\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,009\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento L=2,4\\ \mathrm{cm} = 2,4\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,024\\ \mathrm{m}.
  • Permissividade do vácuo (usar valor aproximado) \varepsilon_0 = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 7

Calcular o logaritmo \ln(b/a) e avaliar a expressão numérica.
  • Primeiro a razão: \frac{b}{a}=\frac{0,009}{0,0008}=11,25.
  • Logaritmo natural: \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln(11,25)\approx 2,420368.

Passo 8

Calcular numericamente a capacitância usando a fórmula.
  • Fórmula: C=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Calcular o numerador passo a passo: 2\pi L = 2\pi\cdot 0,024 \approx 0,150796447,
2\pi\varepsilon_0 L \approx 0,150796447\times 8,854\times10^{-12} \approx 1,33563\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
  • Dividindo pelo logaritmo: C \approx \frac{1,33563\times10^{-12}}{2,420368} \approx 5,517\times10^{-13}\\ \mathrm{F}.
  • Em unidades mais usuais: C \approx 5,52\times10^{-13}\\ \mathrm{F}=0,552\\ \mathrm{pF}.

Passo 9

Observações finais, aproximações e incentivo.
  • Aproximação usada: desprezei efeitos de borda (fringe) nas extremidades dos cilindros. Isso é aceitável quando L é algumas vezes maior que as dimensões transversais; aqui L=24\\ \mathrm{mm} vs raios da ordem de 1\text{--}9\\ \mathrm{mm}, então o valor obtido é uma boa estimativa para a capacitância do diodo.
  • Bom trabalho! Mesmo com pouco tempo, seguir os passos (campo por Gauss → potencial → C=Q/V) resolve esse tipo de problema de capacitor coaxial com tranquilidade.

Resposta

5,52\times10^{-13}\\ \mathrm{F} \quad\text{(aprox.)} = 0,552\\ \mathrm{pF}

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