A placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a forma de dois cilindros concêntricos, com o catodo ocupando o cilindro central. O diâmetro do catodo é igual a
e o da placa mede 18 mm , sendo o comprimento de ambos os elementos igual a
. Calcule a capacitância do diodo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- diâmetro do catodo (cilindro interno):
. - diâmetro da placa (cilindro externo):
. - comprimento de ambos os cilindros:
. - meio entre os cilindros: vácuo (ou ar, considerar permitividade do vácuo).
- diâmetro do catodo (cilindro interno):
- Pedido:
- Calcular a capacitância do diodo (ou seja, a capacitância entre os dois cilindros concêntricos).
Passo 2
Entendimento físico-matemático e estratégia (sem resolver ainda).
- O sistema é um capacitor coaxial formado por dois cilindros concêntricos de comprimento
, raio interno e raio externo . - A estratégia padrão para encontrar a capacitância é:
- Calcular o campo elétrico
entre os cilindros usando a Lei de Gauss. - Integrar o campo para obter a diferença de potencial
entre os cilindros. - Usar
, relacionando a carga total à densidade linear de carga e ao comprimento .
- Calcular o campo elétrico
- Vou derivar a fórmula do capacitor coaxial e depois substituir os valores numéricos.
Passo 3
Derivação do campo elétrico entre cilindros por Gauss.
-
Considere a carga total no cilindro interno
. Defina a densidade linear de carga tal que . -
Para
(região entre os cilindros), escolha uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio e comprimento . A simetria faz com que seja radial e constante sobre essa superfície. -
Aplicando a Lei de Gauss:A área lateral da superfície é
. Logo Cancelando, -
Explicação didática rápida:
é carga por unidade de comprimento (C/m), é a permissividade do vácuo (unidade ), e a dependência surge da simetria cilíndrica (campo decresce com distância radial).
Passo 4
Cálculo da diferença de potencial entre os cilindros.
- A diferença de potencial (módulo) entre o cilindro externo e o interno é
- Integrando:
- Aqui
é o logaritmo natural da razão dos raios.
Passo 5
Expressão da capacitância e significado das variáveis.
- Capacitância definida por
. Como , - Interpretação:
cresce com o comprimento , é proporcional a (quanto maior a permissividade, maior a capacitância) e diminui quando a razão aumenta (mais separação radial diminui ).
Passo 6
Converter os valores do enunciado para o SI e identificar
,
,
.
- Diâmetro do catodo
raio interno - Diâmetro da placa
raio externo - Comprimento
- Permissividade do vácuo (usar valor aproximado)
Passo 7
Calcular o logaritmo
e avaliar a expressão numérica.
- Primeiro a razão:
- Logaritmo natural:
Passo 8
Calcular numericamente a capacitância usando a fórmula.
- Fórmula:
- Calcular o numerador passo a passo:
- Dividindo pelo logaritmo:
- Em unidades mais usuais:
Passo 9
Observações finais, aproximações e incentivo.
- Aproximação usada: desprezei efeitos de borda (fringe) nas extremidades dos cilindros. Isso é aceitável quando
é algumas vezes maior que as dimensões transversais; aqui vs raios da ordem de , então o valor obtido é uma boa estimativa para a capacitância do diodo. - Bom trabalho! Mesmo com pouco tempo, seguir os passos (campo por Gauss → potencial →
) resolve esse tipo de problema de capacitor coaxial com tranquilidade.