Uma placa metálica aquecida opera em regime estacionário, com temperatura de base constante igual a
. A placa está exposta ao ar ambiente a
. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é
.
Deseja se instalar aletas cilíndricas retas de seção transversal uniforme sobre essa placa. Duas alternativas de projeto foram propostas.
Alternativa
Material
Condutividade
térmica, k
Geometria
A
Alumínio
B
Aço inoxidável
mm
A extremidade da aleta está exposta ao mesmo ambiente. Para considerar a troca térmica na extremidade, utilize o comprimento corrigido:
e trate a aleta como uma aleta de extremidade adiabática com comprimento Lc.
Pede se:
- Calcule
e
para cada alternativa.
- Calcule
e interprete fisicamente os resultados.
- Calcule o parâmetro
para cada alternativa.
- Determine a efetividade de cada aleta.
- Determine a eficiência de cada aleta.
- Determine a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
- Escolha a alternativa tecnicamente mais adequada. A conclusão deve considerar
comprimento da aleta e a coerência física do projeto.
a) Calcule
e
para cada alternativa.
b) Calcule
e interprete fisicamente os resultados.
c) Calcule o parâmetro
para cada alternativa.
d) Determine a efetividade de cada aleta.
e) Determine a eficiência de cada aleta.
f) Determine a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
g) Escolha a alternativa tecnicamente mais adequada. A conclusão deve considerar
comprimento da aleta e a coerência física do projeto
| Alternativa | Material |
|
Geometria | ||
| A | Alumínio |
|
|
||
| B | Aço inoxidável |
|
|
Pede se:
b) Calcule
c) Calcule o parâmetro
d) Determine a efetividade de cada aleta.
e) Determine a eficiência de cada aleta.
f) Determine a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
g) Escolha a alternativa tecnicamente mais adequada. A conclusão deve considerar
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
- Temperatura da base:
. - Temperatura do ambiente:
. - Diferença de temperatura de base:
K. - Coeficiente de convecção:
. - Diâmetro das aletas:
. - Alternativa A: material Alumínio com
e comprimento . - Alternativa B: material Aço inox com
e comprimento .
O que o enunciado pede (lista):
a) Calcular ,
e
para cada alternativa.
b) Calcular e interpretar fisicamente.
c) Calcular o parâmetro para cada alternativa.
d) Determinar a efetividade (effectiveness) de cada aleta.
e) Determinar a eficiência (efficiency) de cada aleta.
f) Determinar a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
g) Escolher a alternativa tecnicamente mais adequada, considerando ,
,
, comprimento da aleta e coerência física do projeto.
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular o parâmetro
d) Determinar a efetividade (effectiveness) de cada aleta.
e) Determinar a eficiência (efficiency) de cada aleta.
f) Determinar a taxa de transferência de calor por aleta
g) Escolher a alternativa tecnicamente mais adequada, considerando
Observação sobre notação que usarei:
-
= perímetro da seção transversal da aleta (para seção circular, ). -
= área da seção transversal (para círculo, ). -
= comprimento corrigido: (instrução do enunciado). -
definido por . - Para a aleta com extremidade tratada como adiabática (usando
), a taxa de calor por aleta é
- Eficiência da aleta:
- Efetividade da aleta:
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Calcular
,
e
(fórmulas e cálculos passo a passo).
Fórmulas para seção circular:
Calculemos
e
usando
:
Agora
para cada alternativa (peguei
):
- Alternativa A:
- Alternativa B:
Resumo numérico (valores usados adiante):
Passo 3
Definir o parâmetro
, explicar o que representa e calcular
para cada alternativa.
Teoria (explicação didática):
- O parâmetro
tem dimensão de inverso de comprimento e mede a “taxa de decaimento” da temperatura ao longo da aleta. A distância característica de penetração térmica é . Se grande, a temperatura cai muito rápido a partir da base — isto é típico de material com baixa condutividade ou de aletas muito finas/expostas; se pequeno, o calor conduz facilmente ao longo da aleta. - A definição usada (aqui para seção constante) é
Observação útil para seção circular: como
(verifique:
), fica:
Isso simplifica muito os cálculos — boa notícia na prova 😃
Agora calcular numéricamente com
e
.
Alternativa A (
):
Alternativa B (
):
Interpretação curta:
é muito maior que
porque aço inox tem condutividade muito menor que o alumínio; logo a temperatura decai muito mais rápido ao longo da aleta de aço.
Passo 4
Calcular
para cada alternativa e interpretar fisicamente.
Cálculos:
Interpretação física (didática e concreta):
-
é adimensional e indica quão “comprida” é a aleta em unidades da distância de decaimento térmico . - Se
: a aleta é curta comparada à distância de penetração térmica; a temperatura ao longo da aleta permanece próxima da base, e a aleta está subaproveitada em termos de área (poderia ser mais longa para aumentar ). - Se
: a aleta é longa em relação à distância de decaimento; a ponta está próxima da temperatura ambiente e alongar mais traz pouco ganho (efeito de saturação).
Aplicando isso: - Para A:
(menor que 1) → a aleta de alumínio é relativamente curta comparada ao comprimento térmico; aumentar um pouco o comprimento aumentaria significativamente . - Para B:
(muito maior que 1) → a aleta de aço inox é “muito longa” do ponto de vista térmico; a maior parte da aleta está fria e alongar mais não ajuda: já está praticamente no limite de rendimento máximo possível para esse material.
Passo 5
Calcular a taxa de transferência de calor por aleta
(fórmulas, interpretação de
e cálculos numéricos).
Fórmula (relembrando a origem e significado):
- Para aleta de seção constante com extremidade tratada como adiabática (usando
), a solução analítica dá:
Aqui:
-
tem dimensão de potência por temperatura e é também igual a (verificação: ). -
é uma função que varia de a : para ela é aproximadamente (aquecimento dominado pela condução), para ela tende a (aleta “saturada”, alcança o máximo teórico para comprimento infinito).
Primeiro calculemos o termo multiplicativo
e depois
.
Usarei
.
Alternativa A:
-
. Já calculado indiretamente; numericamente: -
- Portanto
Alternativa B:
-
-
(praticamente 1). - Portanto
Comentário físico: a máxima taxa de calor que uma aleta infinitamente longa (mesmo material/seção) poderia transferir seria
. Para B já se alcançou praticamente esse máximo por causa de
grande; para A ainda há margem (tanh não é 1), então aumentando
em alumínio poderia aumentar mais
.
Passo 6
Calcular a efetividade
de cada aleta (fórmula, significado e cálculo).
Definição usada (padrão para fin/pino): efetividade
onde
é a potência que seria retirada se a área ocupada pela base da aleta (a área do “orifício” na placa) estivesse exposta ao ar à temperatura da base (ou seja, a referência sem aleta).
Calculemos (note que
é o mesmo denominador para ambas as alternativas porque
,
e
são iguais):
Denominador:
Assim:
- Alternativa A:
Interpretação: a aleta permite retirar ~22 vezes mais calor do que aquela mesma pequena área de base exposta sem aleta — isto mostra o ganho enorme ao usar aleta de alumínio. - Alternativa B:
Ainda um ganho relevante (≈10×), mas muito menor que o do alumínio.
Passo 7
Calcular a eficiência
de cada aleta (fórmula, significado e cálculo).
Definição:
onde
é a área lateral total da aleta (neste problema usamos
e consideramos a ponta tratada como adiabática). A eficiência mede quanto da área da aleta está efetivamente “aproveitando” a temperatura da base:
significa que toda a área está à temperatura da base (caso ideal que não ocorre), valores menores indicam perda (gradiente de temperatura ao longo da aleta).
Calculemos
e
.
Primeiro
(usado duas vezes) já foi calculado implicitamente:
Alternativa A:
Alternativa B:
Interpretação: a aleta de alumínio tem eficiência alta (
) — grande parte da sua área está realmente contribuindo. A de aço inox tem eficiência muito baixa (
) — embora tenha área maior (é mais longa), grande parte dessa área está “fria” e pouco aproveitada.
Passo 8
Comparação final e escolha técnica (interpretação prática e coerência do projeto).
Dados importantes resumidos (para facilitar o raciocínio):
-
, , , . -
, , , .
Argumentos para decisão técnica:
- A alternativa A (alumínio) fornece mais que o dobro de calor por aleta em relação à alternativa B (14,12 W contra 6,59 W). Isso por si só já favorece A se o objetivo é retirar mais calor por aleta.
- A eficiência
da aleta A é muito maior: cerca de contra de B. Isso significa que o material/forma do projeto A aproveita muito melhor a área da aleta — menos material “desperdiçado”. - A efetividade
também é maior em A (≈22 vs ≈10), o que significa que cada aleta A substitui um pedaço de área na placa muito mais eficientemente. - O valor
confirma a coerência física: para B a combinação baixa condutividade + comprimento maior dá , ou seja, já se atingiu praticamente o limite de calor que um pino de aço inox poderia transferir (tanh ≈1). Alongar mais ou usar o aço serão soluções pouco eficazes; o problema é a baixa condutividade do aço. Para A, está na faixa , então a aleta de alumínio poderia até ser otimizada aumentando comprimento (aumentaria ), e já apresenta boa eficiência. - Considerando razão custo/desempenho (não numérica aqui), alumínio costuma ser mais leve e ter melhor condutividade térmica, e é normalmente a escolha técnica adequada para aletas quando visam-se grandes fluxos de calor por aleta.
Conclusão técnica: a alternativa A (alumínio,
,
) é a opção mais adequada tecnicamente, pois fornece maior
, maior eficiência
e maior efetividade
, além de apresentar um
coerente (a aleta ainda pode ser alongada para ganhar mais
se necessário). A alternativa B tem baixo desempenho térmico por aleta devido à baixa condutividade do aço inox, e seu maior comprimento não compensa essa limitação (a aleta já está praticamente saturada termicamente).
Resposta
a)
Alternativa A:
Alternativa B:
b)
c)
d) Efetividade:
e) Eficiência:
f) Taxa de transferência por aleta:
g) Escolha técnica: Alternativa A (Alumínio,
). Argumento resumo: maior
, maior eficiência
e maior efetividade
; além disso
indica que a aleta A ainda não está saturada termicamente (há ganho possível com aumento moderado de comprimento), enquanto a alternativa B está termicamente saturada devido à baixa condutividade do aço.