Uma placa metálica aquecida opera em regime estacionário, com temperatura de base constante igual a
\mathrm{Tb}=180^{\circ} \mathrm{C}. A placa está exposta ao ar ambiente a \mathrm{T} \infty=30^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é \mathrm{h}=85 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Deseja se instalar aletas cilíndricas retas de seção transversal uniforme sobre essa placa. Duas alternativas de projeto foram propostas.
Alternativa Material
Condutividade
térmica, k
Geometria
A Alumínio 205 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{D}=8 \mathrm{~mm} ; \mathrm{L}=50 \mathrm{~mm}
B Aço inoxidável 18 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
\mathrm{D}=8 \mathrm{~mm} ; \mathrm{L}=100
mm
A extremidade da aleta está exposta ao mesmo ambiente. Para considerar a troca térmica na extremidade, utilize o comprimento corrigido:
\mathrm{Lc}=\mathrm{L}+\mathrm{D} / 4
e trate a aleta como uma aleta de extremidade adiabática com comprimento Lc.
Pede se:
  • Calcule \mathrm{P}, \mathrm{A}_{\mathrm{c}} e \mathrm{L}_{\mathrm{c}} para cada alternativa.
  • Calcule \mathrm{mL}_{\mathrm{c}} e interprete fisicamente os resultados.
  • Calcule o parâmetro m para cada alternativa.
  • Determine a efetividade de cada aleta.
  • Determine a eficiência de cada aleta.
  • Determine a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
  • Escolha a alternativa tecnicamente mais adequada. A conclusão deve considerar \mathrm{q}_{\mathrm{a}}, \eta_{\mathrm{a}}, \varepsilon_{\mathrm{a}}, \mathrm{o} comprimento da aleta e a coerência física do projeto.
a) Calcule \mathrm{P}, \mathrm{A}_{\mathrm{c}} e \mathrm{L}_{\mathrm{c}} para cada alternativa.
b) Calcule \mathrm{mL}_{\mathrm{c}} e interprete fisicamente os resultados.
c) Calcule o parâmetro m para cada alternativa.
d) Determine a efetividade de cada aleta.
e) Determine a eficiência de cada aleta.
f) Determine a taxa de transferência de calor por aleta em cada alternativa.
g) Escolha a alternativa tecnicamente mais adequada. A conclusão deve considerar \mathrm{q}_{\mathrm{a}}, \eta_{\mathrm{a}}, \varepsilon_{\mathrm{a}}, \mathrm{o} comprimento da aleta e a coerência física do projeto

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Temperatura da base: T_b=180^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente: T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura de base: \theta_b=T_b-T_\infty=180-30=150 K.
  • Coeficiente de convecção: h=85\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
  • Diâmetro das aletas: D=8\\ \mathrm{mm}=0{,}008\\ \mathrm{m}.
  • Alternativa A: material Alumínio com k_A=205\\ \mathrm{W/(mK)} e comprimento L_A=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • Alternativa B: material Aço inox com k_B=18\\ \mathrm{W/(mK)} e comprimento L_B=100\\ \mathrm{mm}=0{,}100\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede (lista):
a) Calcular P, A_c e L_c para cada alternativa.
b) Calcular mL_c e interpretar fisicamente.
c) Calcular o parâmetro m para cada alternativa.
d) Determinar a efetividade (effectiveness) de cada aleta.
e) Determinar a eficiência (efficiency) de cada aleta.
f) Determinar a taxa de transferência de calor por aleta (q_a) em cada alternativa.
g) Escolher a alternativa tecnicamente mais adequada, considerando q_a, \eta_a, \varepsilon_a, comprimento da aleta e coerência física do projeto.
Observação sobre notação que usarei:
  • P = perímetro da seção transversal da aleta (para seção circular, P=\pi D).
  • A_c = área da seção transversal (para círculo, A_c=\pi D^2/4).
  • L_c = comprimento corrigido: L_c=L+D/4 (instrução do enunciado).
  • m definido por \displaystyle m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
  • Para a aleta com extremidade tratada como adiabática (usando L_c), a taxa de calor por aleta é
q_a = k A_c m\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(m L_c).
  • Eficiência da aleta:
\eta_a=\frac{q_a}{h\,A_f\,\theta_b},\qquad A_f=P L_c\\ (\text{área lateral da aleta}).á
  • Efetividade da aleta:
\varepsilon_a=\frac{q_a}{h\,A_c\,\theta_b}.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular P, A_c e L_c (fórmulas e cálculos passo a passo).
Fórmulas para seção circular:
P=\pi D, \qquad A_c=\frac{\pi D^2}{4}, \qquad L_c=L+\frac{D}{4}.
Calculemos P e A_c usando D=0{,}008\\ \mathrm{m}:
P=\pi D=\pi(0{,}008)=0{,}02513274123\\ \mathrm{m}\approx0{,}02513\\ \mathrm{m}.
A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}008)^2}{4}=\pi\cdot1{,}6\times10^{-5}=5{,}026548\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Agora L_c para cada alternativa (peguei D/4=0{,}008/4=0{,}002\\ \mathrm{m}):
  • Alternativa A: L_A=0{,}050\\ \mathrm{m}\Rightarrow L_{c,A}=0{,}050+0{,}002=0{,}052\\ \mathrm{m}.
  • Alternativa B: L_B=0{,}100\\ \mathrm{m}\Rightarrow L_{c,B}=0{,}100+0{,}002=0{,}102\\ \mathrm{m}.
Resumo numérico (valores usados adiante):
P=0{,}02513\\ \mathrm{m},\qquad A_c=5{,}0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
L_{c,A}=0{,}052\\ \mathrm{m},\qquad L_{c,B}=0{,}102\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Definir o parâmetro m, explicar o que representa e calcular m para cada alternativa.
Teoria (explicação didática):
  • O parâmetro m tem dimensão de inverso de comprimento e mede a “taxa de decaimento” da temperatura ao longo da aleta. A distância característica de penetração térmica é 1/m. Se m grande, a temperatura cai muito rápido a partir da base — isto é típico de material com baixa condutividade ou de aletas muito finas/expostas; se m pequeno, o calor conduz facilmente ao longo da aleta.
  • A definição usada (aqui para seção constante) é
\displaystyle m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Observação útil para seção circular: como P/A_c=4/D (verifique: P/A_c=(\pi D)/(\pi D^2/4)=4/D), fica:
\displaystyle m=\sqrt{\frac{4h}{kD}}.
Isso simplifica muito os cálculos — boa notícia na prova 😃
Agora calcular numéricamente com h=85\\ \mathrm{W/(m^2K)} e D=0{,}008\\ \mathrm{m}.
Alternativa A ( k_A=205\\ \mathrm{W/(mK)}):
m_A=\sqrt{\frac{4\cdot85}{205\cdot0{,}008}} =\sqrt{\frac{340}{1{,}64}} =\sqrt{207{,}3170732}\approx14{,}395\\ \mathrm{m^{-1}}.
Alternativa B ( k_B=18\\ \mathrm{W/(mK)}):
m_B=\sqrt{\frac{4\cdot85}{18\cdot0{,}008}} =\sqrt{\frac{340}{0{,}144}} =\sqrt{2361{,}111111}\approx48{,}590\\ \mathrm{m^{-1}}.
Interpretação curta: m_B é muito maior que m_A porque aço inox tem condutividade muito menor que o alumínio; logo a temperatura decai muito mais rápido ao longo da aleta de aço.

Passo 4

Calcular mL_c para cada alternativa e interpretar fisicamente.
Cálculos:
m_A L_{c,A}=14{,}395\cdot0{,}052\approx0{,}7485.
m_B L_{c,B}=48{,}590\cdot0{,}102\approx4{,}955.
Interpretação física (didática e concreta):
  • mL_c é adimensional e indica quão “comprida” é a aleta em unidades da distância de decaimento térmico 1/m.
  • Se mL_c\ll1: a aleta é curta comparada à distância de penetração térmica; a temperatura ao longo da aleta permanece próxima da base, e a aleta está subaproveitada em termos de área (poderia ser mais longa para aumentar q).
  • Se mL_c\gtrsim 2{-}3: a aleta é longa em relação à distância de decaimento; a ponta está próxima da temperatura ambiente e alongar mais traz pouco ganho (efeito de saturação).
    Aplicando isso:
  • Para A: mL_c\approx0{,}75 (menor que 1) → a aleta de alumínio é relativamente curta comparada ao comprimento térmico; aumentar um pouco o comprimento aumentaria significativamente q.
  • Para B: mL_c\approx4{,}96 (muito maior que 1) → a aleta de aço inox é “muito longa” do ponto de vista térmico; a maior parte da aleta está fria e alongar mais não ajuda: já está praticamente no limite de rendimento máximo possível para esse material.

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor por aleta q_a (fórmulas, interpretação de \operatorname{tanh} e cálculos numéricos).
Fórmula (relembrando a origem e significado):
  • Para aleta de seção constante com extremidade tratada como adiabática (usando L_c), a solução analítica dá:
q_a = k A_c m\,\theta_b\,\operatorname{tanh}(m L_c).
Aqui:
  • k A_c m tem dimensão de potência por temperatura e é também igual a \sqrt{hP k A_c} (verificação: kA_c m = kA_c\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{hPkA_c}).
  • \operatorname{tanh}(mL_c) é uma função que varia de 0 a 1: para mL_c\ll1 ela é aproximadamente mL_c (aquecimento dominado pela condução), para mL_c\gg1 ela tende a 1 (aleta “saturada”, alcança o máximo teórico para comprimento infinito).
Primeiro calculemos o termo multiplicativo \sqrt{h P k A_c}=k A_c m e depois q_a.
Usarei \theta_b=150\\ \mathrm{K}.
Alternativa A:
  • k_A A_c m_A = \sqrt{hP k_A A_c}. Já calculado indiretamente; numericamente: \sqrt{hP k_A A_c}\approx0{,}148342\\ \mathrm{W/K}.
  • \operatorname{tanh}(m_A L_{c,A})=\operatorname{tanh}(0{,}7485)\approx0{,}6346.
  • Portanto q_{a,A}=0{,}148342\cdot150\cdot0{,}6346\approx14{,}12\\ \mathrm{W}.
Alternativa B:
  • \sqrt{hP k_B A_c}\approx0{,}043959\\ \mathrm{W/K}.
  • \operatorname{tanh}(m_B L_{c,B})=\operatorname{tanh}(4{,}955)\approx0{,}9999 (praticamente 1).
  • Portanto q_{a,B}=0{,}043959\cdot150\cdot0{,}9999\approx6{,}59\\ \mathrm{W}.
Comentário físico: a máxima taxa de calor que uma aleta infinitamente longa (mesmo material/seção) poderia transferir seria q_{a,\infty}=\sqrt{hP k A_c}\,\theta_b. Para B já se alcançou praticamente esse máximo por causa de mL_c grande; para A ainda há margem (tanh não é 1), então aumentando L em alumínio poderia aumentar mais q_a.

Passo 6

Calcular a efetividade \varepsilon_a de cada aleta (fórmula, significado e cálculo).
Definição usada (padrão para fin/pino): efetividade
\varepsilon_a=\frac{q_a}{h\,A_c\,\theta_b},
onde hA_c\theta_b é a potência que seria retirada se a área ocupada pela base da aleta (a área do “orifício” na placa) estivesse exposta ao ar à temperatura da base (ou seja, a referência sem aleta).
Calculemos (note que hA_c\theta_b é o mesmo denominador para ambas as alternativas porque A_c, h e \theta_b são iguais):
Denominador:
hA_c\theta_b=85\cdot5{,}026548\times10^{-5}\cdot150\approx0{,}6409\\ \mathrm{W}.
Assim:
  • Alternativa A: \varepsilon_A=\frac{14{,}12}{0{,}6409}\approx22{,}0.Interpretação: a aleta permite retirar ~22 vezes mais calor do que aquela mesma pequena área de base exposta sem aleta — isto mostra o ganho enorme ao usar aleta de alumínio.
  • Alternativa B: \varepsilon_B=\frac{6{,}59}{0{,}6409}\approx10{,}29.Ainda um ganho relevante (≈10×), mas muito menor que o do alumínio.

Passo 7

Calcular a eficiência \eta_a de cada aleta (fórmula, significado e cálculo).
Definição:
\eta_a=\frac{q_a}{h\,A_f\,\theta_b},\qquad A_f=P L_c
onde A_f é a área lateral total da aleta (neste problema usamos L_c e consideramos a ponta tratada como adiabática). A eficiência mede quanto da área da aleta está efetivamente “aproveitando” a temperatura da base: \eta_a=1 significa que toda a área está à temperatura da base (caso ideal que não ocorre), valores menores indicam perda (gradiente de temperatura ao longo da aleta).
Calculemos h A_f \theta_b e \eta_a.
Primeiro hP (usado duas vezes) já foi calculado implicitamente:
hP=85\cdot0{,}02513274123\approx2{,}13628\\ \mathrm{W/m}.
Alternativa A:
A_{f,A}=P L_{c,A}=0{,}02513\cdot0{,}052=0{,}0013068\\ \mathrm{m^2}.
hA_{f,A}\theta_b=85\cdot A_{f,A}\cdot150\approx16{,}663\\ \mathrm{W}.
\eta_A=\frac{q_{a,A}}{hA_{f,A}\theta_b}=\frac{14{,}12}{16{,}663}\approx0{,}8476\approx84{,}8\%.
Alternativa B:
A_{f,B}=P L_{c,B}=0{,}02513\cdot0{,}102=0{,}002563\\ \mathrm{m^2}.
hA_{f,B}\theta_b=85\cdot A_{f,B}\cdot150\approx32{,}685\\ \mathrm{W}.
\eta_B=\frac{q_{a,B}}{hA_{f,B}\theta_b}=\frac{6{,}59}{32{,}685}\approx0{,}2018\approx20{,}2\%.
Interpretação: a aleta de alumínio tem eficiência alta ( \approx85\%) — grande parte da sua área está realmente contribuindo. A de aço inox tem eficiência muito baixa ( \approx20\%) — embora tenha área maior (é mais longa), grande parte dessa área está “fria” e pouco aproveitada.

Passo 8

Comparação final e escolha técnica (interpretação prática e coerência do projeto).
Dados importantes resumidos (para facilitar o raciocínio):
  • q_{a,A}\approx14{,}12\\ \mathrm{W}, \eta_A\approx84{,}8\%, \varepsilon_A\approx22{,}0, mL_{c,A}\approx0{,}75.
  • q_{a,B}\approx6{,}59\\ \mathrm{W}, \eta_B\approx20{,}2\%, \varepsilon_B\approx10{,}29, mL_{c,B}\approx4{,}96.
Argumentos para decisão técnica:
  • A alternativa A (alumínio) fornece mais que o dobro de calor por aleta em relação à alternativa B (14,12 W contra 6,59 W). Isso por si só já favorece A se o objetivo é retirar mais calor por aleta.
  • A eficiência \eta da aleta A é muito maior: cerca de 85\% contra 20\% de B. Isso significa que o material/forma do projeto A aproveita muito melhor a área da aleta — menos material “desperdiçado”.
  • A efetividade \varepsilon também é maior em A (≈22 vs ≈10), o que significa que cada aleta A substitui um pedaço de área na placa muito mais eficientemente.
  • O valor mL_c confirma a coerência física: para B a combinação baixa condutividade + comprimento maior dá mL_c\gg1, ou seja, já se atingiu praticamente o limite de calor que um pino de aço inox poderia transferir (tanh ≈1). Alongar mais ou usar o aço serão soluções pouco eficazes; o problema é a baixa condutividade do aço. Para A, mL_c está na faixa <1, então a aleta de alumínio poderia até ser otimizada aumentando comprimento (aumentaria q), e já apresenta boa eficiência.
  • Considerando razão custo/desempenho (não numérica aqui), alumínio costuma ser mais leve e ter melhor condutividade térmica, e é normalmente a escolha técnica adequada para aletas quando visam-se grandes fluxos de calor por aleta.
Conclusão técnica: a alternativa A (alumínio, D=8\\ \mathrm{mm}, L=50\\ \mathrm{mm}) é a opção mais adequada tecnicamente, pois fornece maior q_a, maior eficiência \eta_a e maior efetividade \varepsilon_a, além de apresentar um mL_c coerente (a aleta ainda pode ser alongada para ganhar mais q se necessário). A alternativa B tem baixo desempenho térmico por aleta devido à baixa condutividade do aço inox, e seu maior comprimento não compensa essa limitação (a aleta já está praticamente saturada termicamente).

Resposta

a) P=\pi D=0{,}02513\\ \mathrm{m};\quad A_c=\dfrac{\pi D^2}{4}=5{,}0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
\quad Alternativa A: L_{c,A}=0{,}052\\ \mathrm{m}.
\quad Alternativa B: L_{c,B}=0{,}102\\ \mathrm{m}.
b) mL_{c,A}=0{,}7485;\quad mL_{c,B}=4{,}955.
c) m_A=14{,}395\\ \mathrm{m^{-1}};\quad m_B=48{,}590\\ \mathrm{m^{-1}}.
d) Efetividade: \varepsilon_A\approx22{,}0;\quad \varepsilon_B\approx10{,}29.
e) Eficiência: \eta_A\approx0{,}8476\\ (84{,}8\%);\quad \eta_B\approx0{,}2018\\ (20{,}2\%).
f) Taxa de transferência por aleta: q_{a,A}\approx14{,}12\\ \mathrm{W};\quad q_{a,B}\approx6{,}59\\ \mathrm{W}.
g) Escolha técnica: Alternativa A (Alumínio, D=8\\ \mathrm{mm},\\ L=50\\ \mathrm{mm}). Argumento resumo: maior q_a, maior eficiência \eta_a e maior efetividade \varepsilon_a; além disso mL_c indica que a aleta A ainda não está saturada termicamente (há ganho possível com aumento moderado de comprimento), enquanto a alternativa B está termicamente saturada devido à baixa condutividade do aço.

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