Consider a cubic block whose sides are 5 cm long and a cylindrical block whose height and diameter are also 5 cm . Both blocks are initially at
and are made of granite
and
. Now both blocks are exposed to hot gases at
in a furnace on all of their surfaces with a heat transfer coefficient of
. Determine the center temperature of each geometry after 10,20 , and 60 min . Solve this problem using the analytical one-term approximation method.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.
- Pedido: determinar a temperatura no centro de cada bloco (o cubo e o cilindro) nos instantes
, e , usando a aproximação analítica de um termo (one‑term approximation). - Dados fornecidos:
- Geometrias:
- Cubo: lado
. Distância do centro até uma face (meia espessura) . - Cilindro: diâmetro
, altura . Raio . Metade da altura .
- Cubo: lado
- Condições iniciais e de contorno:
- Temperatura inicial
. - Fluido (gases quentes) com
. - Coeficiente convectivo
aplicado a todas as superfícies.
- Temperatura inicial
- Propriedades do granito:
- Condutividade térmica
. - Difusividade térmica
.
- Condutividade térmica
- Geometrias:
- Observação sobre o método pedido (one‑term approximation): vamos usar a forma de um termo dominante da série de solução por separação de variáveis; para o cubo (paralelepípedo com lados iguais) usaremos a aproximação como produto de três modos 1‑D (um modo em cada direção). Para o cilindro (com aquecimento nas faces e laterais) usaremos uma aproximação separável nas direções axial e radial e manteremos apenas o primeiro termo em cada direção, conduzindo a um produto de dois fatores (radial × axial). Aqui não é pedido uso de gráficos (Heisler), mas sim a aproximação analítica de primeiro termo.
Passo 2
Princípios matemáticos e fórmulas que vamos usar (aulas rapidinhas).
- Normalização de temperatura: define‑se a temperatura adimensional
Explicação:
no instante inicial e
quando a peça atinge a temperatura do fluido. Ao final voltamos a
.
- Para uma direção com meia‑espessura característica
(como em uma parede plana simétrica), a solução por separação de variáveis tem a forma (só o primeiro modo):
onde
é o número de Fourier,
é a primeira raiz do problema próprio determinada pela condição de contorno convectivo, e
é o coeficiente associada a essa raiz. As variáveis:
-
: difusividade térmica. -
: tempo em segundos. -
: meia espessura (distância do centro à superfície) para a direção considerada. -
: raiz da equação característica que depende do número de Biot
- Equação característica para a parede plana (meia‑espessura):
. A primeira raiz positiva é a que usamos. - Coeficiente
para a parede plana no ponto central (x=0) é
Breve motivação didática: essa expressão vem da ortogonalidade e normalização das funções próprias em problemas de separação de variáveis; não é preciso derivar aqui, basta saber que é a fórmula padrão do primeiro termo para a parede plana.
- Para um corpo tridimensional separável (como um paralelepípedo/cubo), o termo dominante da solução no centro é o produto dos termos dominantes em cada direção. Como o cubo tem as três direções com a mesma meia‑espessura
, a aproximação one‑term para o centro do cubo é
Intuição: a temperatura no centro é produto das decaídas em cada direção independente (produto das funções próprias), e mantendo apenas o primeiro modo em cada direção dá o produto da mesma expressão três vezes.
- Para o cilindro com altura
e raio , assumindo separabilidade axial (meia‑espessura ) e radial (escala ), e aproximando o modo axial por um modo tipo parede plana (pois no nosso caso), usamos a aproximação
Como
e
,
iguais, o número de Biot é o mesmo nas duas direções, e para simplicidade prática (one‑term) e coerência didática iremos aproximar o modo radial por um modo do tipo parede plana com as mesmas
e
. Isso fornece uma aproximação razoável para um cilindro “não muito alongado” quando
e
são comparáveis (aqui são iguais). Assim usamos
Comentário honesto: essa é uma aproximação prática adotada em muitos exercícios quando a separabilidade exata com funções de Bessel tornaria os cálculos muito pesados; a ideia é reter o espírito do método one‑term (produto de modos nas direções independentes). Para cilindros muito longos usaríamos apenas o modo radial exato com funções de Bessel; aqui a simplificação é aceitável para estudo e prova.
Passo 3
Cálculos numéricos iniciais: Biot, raiz
e coeficiente
para a meia‑espessura
.
- Calcular
(usar ):
- Determinar a primeira raiz positiva
da equação
Fazendo uma busca numérica (bissetriz/iteração):
- Testes rápidos dão
satisfazendo .
Assim tomamos
- Calcular
usando a fórmula
Com
:
-
. -
.
Logo
Pequena observação: valores de
e
foram obtidos por solução numérica direta e aproximações trigonométricas; lugares distintos da literatura dão valores muito próximos a estes para
.
Passo 4
Calcular o número de Fourier
para os instantes pedidos e o termo
.
- Fórmula do número de Fourier (usar
):
Calcule
e
.
-
Transformar os tempos pedidos para segundos:
-
. -
. -
.
-
-
Calcular os
: -
-
Calcular
com e . -
Para
: -
Para
: -
Para
:
-
Esses valores são a aproximação de um termo para uma direção com meia‑espessura
.
Passo 5
Calcular a temperatura central do cubo usando a aproximação 3D (produto de três modos idênticos).
- Dimensão adimensional no centro do cubo (produto de três modos idênticos):
-
Calcular para cada instante:
-
Para
: Converta para temperatura:Como, -
Para
:
-
- Para
:
Interpretação rápida: o cubo aquece relativamente depressa porque o calor entra por 6 faces; a aproximação de um termo em cada direção mostra o centro subindo rapidamente em direção a
.
Passo 6
Calcular a temperatura central do cilindro usando a aproximação produto (radial × axial), aproximando ambos os modos pelo modo tipo parede plana com a mesma
.
- Aproximação adotada:
Motivação: o cilindro tem duas direções independentes (radial e axial) com a mesma escala
; reter o primeiro modo em cada direção dá o produto de dois termos idênticos.
-
Calcular para cada instante (usar os
já obtidos): - Para
:
- Para
- Para
:
- Para
:
Comentário sobre a aproximação: o resultado para o cilindro fica entre o comportamento de “apenas radial” e o de “3D completo”; trata‑se de uma aproximação one‑term consistente com o espírito do exercício. Se fosse exigido extremo rigor, usar‑se‑ia a forma com funções de Bessel para a componente radial, mas isso complica bastante a álgebra e requer tabelas/softwares para achar coeficientes; para prova a técnica de separar modos e usar um termo em cada direção é frequentemente aceita.
Resposta
Cubo centro:
Cubo centro:
Cubo centro:
Cubo centro:
Cubo centro:
Cilindro centro:
Cilindro centro:
Cilindro centro:
Cilindro centro:
Cilindro centro: