Uma placa quadrada com lados de 800 mm paralelos aos eixos x e y e espessura uniforme h=10 mm é feita de um aço de comportamento linear elástico isótropo com E=200 GPa e v=0,29. Se a placa é submetida a tensão plana (sigmaz z=sigmaz x=sigmaz y=0) e sigmax x=sigma1=500 MPa, determine sigmay y=sigma2, as deformações e as dimensões finais da placa. Resolva este problema para a condição varepsilonx x=2 varepsilony y.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa quadrada de lado inicial 800,mm e espessura inicial h=10,mm, feita de aço isotrópico linear-elástico com E=200,GPa e nu=0,29. Está em condição de tensão plana (ou seja sigmazz=sigmazx=sigmazy=0) e sabemos sigmaxx=500,MPa. Precisamos achar sigmayy de modo que
varepsilonxx=2,varepsilonyy,
depois determinar todas as deformações varepsilonxx,varepsilonyy,varepsilonzz e, por fim, calcular as dimensões finais da placa.

Passo 2

Em tensão plana, as leis de Hooke em coordenadas x y são
varepsilonxx=1El(sigmaxx-nu,sigmayyr),
varepsilonyy=1El(sigmayy-nu,sigmaxxr),
e, como sigmazz=0,
varepsilonzz=-nuEl(sigmaxx+sigmayyr)
Impondo varepsilonxx=2,varepsilonyy obtemos
1El(sigmaxx-nusigmayyr) =2;1El(sigmayy-nusigmaxxr)
Multiplicando por E e reorganizando termos,
sigmaxx-nu,sigmayy =2,sigmayy-2nu,sigmaxx,
sigmaxx+2nu,sigmaxx =2,sigmayy+nu,sigmayy,
sigmayy,(2+nu) =sigmaxx,(1+2nu)
Logo,
sigmayy =1+2nu2+nu;sigmaxx

Passo 3

Substituindo sigmaxx=500,MPa e nu=0,29:
sigmayy =1+2(0,29)2+0,29times500 =1+0,582,29times500 =1,582,29times500 approx345,0 MPa

Passo 4

Agora calculamos as deformações:
varepsilonxx =1El(500-0,29cdot345r) =1200,000l(500-100,05r) =399,95200,000 approx0,002000,
varepsilonyy =1El(345-0,29cdot500r) =1200,000l(345-145r) =200200,000 =0,001000,
varepsilonzz =-0,29200,000l(500+345r) =-0,29cdot845200,000 approx-0,001224

Passo 5

As dimensões finais ficam, para cada direção:
Lx =800,(1+varepsilonxx)=800,(1+0,002000)=801,6 mm,
Ly =800,(1+varepsilonyy)=800,(1+0,001000)=800,8 mm,
hf =10,(1+varepsilonzz)=10,(1-0,001224)=9,9878 mm

Resposta

sigmayyapprox345,0 MPa varepsilonxxapprox0,002000, varepsilonyy=0,001000, varepsilonzzapprox-0,001224 Lxapprox801,6 mm, Lyapprox800,8 mm, hfapprox9,9878 mm

Exercícios relacionados