Exemplo 4.4
Um elemento é feito de material com peso específico gamma e módulo de elasticidade E. Supondo que ele tenha formato cônico e as dimensões mostradas, determinar que sua extremidade é deslocada devido à gravidade quando ele está suspenso na posição vertical.
i) Cálculo da força interna P
ii) Cálculo do deslocamento u ou de<a
u=de<a=integral0^L P(x)E A(x) d x

Passo 1

O problema é de um barra cônica de comprimento L, material de peso específico gamma e módulo de elasticidade E, suspensa verticalmente pelo topo. Queremos i) achar a força interna P(x) em uma seção a uma distância x do topo e ii) calcular o deslocamento na extremidade inferior
O que precisaremos:
  • Expressar a área transversal A(x) em função de x.
  • Calcular P(x) como o peso da parte da barra abaixo de x.
  • Integrar
u ;=;de<a ;=;integral0^LP(x)E,A(x),dx
para obter o deslocamento total.

Passo 2

Definimos o raio no topo R de modo que a área em x=0 seja A0=pi R^2. Como a barra é cônica até o vértice em x=L, o raio varia linearmente:
r(x)=Rl(1-xLr)
Logo
A(x)=pi,r(x)^2=pi R^2l(1-xLr)^2=A0l(1-xLr)^2

Passo 3

A força interna P(x) é o peso da porção da barra entre x e L:
P(x)=gammaintegrals=x^LA(s),ds =gamma A0integralx^Ll(1-sLr)^2ds
Fazendo a substituição t=1-tfracsL, obtém‐se
integralx^Ll(1-tfracsLr)^2ds =Lintegral0^1-tfracxLt^2dt =L3l(1-xLr)^3
Portanto
boxedP(x)=gamma,A0,L3l(1-xLr)^3

Passo 4

Para o deslocamento usamos
u=integral0^LP(x)E,A(x),dx =integral0^L gamma A0L3(1-xL)^3 E,A0(1-xL)^2,dx =gamma L3Eintegral0^Ll(1-xLr),dx
Note que A0 cancela. Agora
integral0^Ll(1-xLr)dx =l[x-tfracx^22Lr]0^L =L-L2=L2

Passo 5

Substituindo na expressão de u:
u=gamma L3EcdotL2 =gamma,L^26E

Resposta

i) P(x)=gamma,A0,L3l(1-xLr)^3
ii) u=de<a=gamma,L^26E

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