Seja o estado tensional num ponto dado pelas seguintes componentes nāo nulas
sigmaxx=110 MPa, sigmayy=-86 MPa, sigmazz=55 MPa e tauxy=tauyx=60 MPa Pede-se:
a) Tensões principais;
b) As direções principais;
c) A máxima tensão cisalhante;
d) O ângulo entre a direção da máxima tensão normal eo eixo z

Passo 1

O enunciado nos dá o tensor de tensões em um ponto, com componentes não nulas
sigmaxx=110 MPa, sigmayy=-86 MPa, sigmazz=55 MPa, tauxy=tauyx=60 MPa,
e todas as demais tauij=0.
O conteúdo aqui é encontrar as tensões principais (autovalores do tensor), as direções principais (autovetores), a máxima tensão cisalhante e o ângulo entre a direção da máxima tensão normal e o eixo z. Como só há cisalhamento no plano xy, podemos tratar o bloco 2times2 em xy e o componente zz separadamente.

Passo 2

Para achar as tensões principais no plano xy resolvemos o autovalor do bloco
110 & 60[6pt] 60 & -86
A equação característica é
det 110-lambda & 60[3pt] 60 & -86-lambda =0 ;Longrightarrow; (110-lambda)(-86-lambda)-60^2=0
Isto leva a
lambda^2-24,lambda-13060=0 Longrightarrow lambda1,3 =24pmraiz24^2+4cdot130602 approx 126,9 MPa, -102,9 MPa
O terceiro autovalor é simplesmente sigmazz=55 MPa]

Passo 3

As direções principais no plano xy obedecem
tan(2thetap) =2,tauxysigmaxx-sigmayy =2cdot60110-(-86) =120196approx0,61224,
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2thetapapprox31,5^circ Longrightarrow thetapapprox15,75^circ
medido a partir do eixo x.
Isto significa que o autovetor associado a lambda1=126,9 MPa é
n1=(cos15,75^circ,;sin15,75^circ,;0),
para lambda3=-102,9 MPa a direção ortogonal no plano xy, e para lambda2=55 MPa a direção é o eixo z,
n2=(0,0,1)

Passo 4

As tensões cisalhantes máximas possíveis são
lambda1-lambda22=126,9-552=35,95 MPa, lambda2-lambda32=55-(-102,9)2=78,95 MPa, lambda1-lambda32=126,9-(-102,9)2=114,9 MPa
A maior dessas é
taumax=114,9 MPa

Passo 5

O autovetor de maior tensão normal é n1=(cos15,75^circ,sin15,75^circ,0). O eixo z tem direção (0,0,1). O ângulo phi entre eles satisfaz
cosphi =n1cdot(0,0,1)=0 Longrightarrow phi=90^circ

Resposta

a) sigma1=126,9 MPa,;sigma2=55 MPa,;sigma3=-102,9 MPa
b) Direções principais:
n1=(cos15,75^circ,sin15,75^circ,0), n2=(0,0,1),
e ortogonal no plano xy para sigma3.
c) taumax=114,9 MPa
d) phi=90^circ

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