Seja o estado tensional num ponto dado pelas seguintes componentes nāo nulas
a) Tensões principais;
b) As direções principais;
c) A máxima tensão cisalhante;
d)
ângulo entre a direção da máxima tensão normal eo eixo
b) As direções principais;
c) A máxima tensão cisalhante;
d)
Passo 1
O enunciado nos dá o tensor de tensões em um ponto, com componentes não nulas
e todas as demais
.
O conteúdo aqui é encontrar as tensões principais (autovalores do tensor), as direções principais (autovetores), a máxima tensão cisalhante e o ângulo entre a direção da máxima tensão normal e o eixo . Como só há cisalhamento no plano
, podemos tratar o bloco
em
e o componente
separadamente.
O conteúdo aqui é encontrar as tensões principais (autovalores do tensor), as direções principais (autovetores), a máxima tensão cisalhante e o ângulo entre a direção da máxima tensão normal e o eixo
Passo 2
Para achar as tensões principais no plano
resolvemos o autovalor do bloco
A equação característica é
Isto leva a
O terceiro autovalor é simplesmente
]
Passo 3
As direções principais no plano
obedecem
logo
medido a partir do eixo
.
Isto significa que o autovetor associado a é
Isto significa que o autovetor associado a
para
a direção ortogonal no plano
, e para
a direção é o eixo
,
Passo 4
As tensões cisalhantes máximas possíveis são
A maior dessas é
Passo 5
O autovetor de maior tensão normal é
. O eixo
tem direção
. O ângulo
entre eles satisfaz
Resposta
a)
b) Direções principais:
e ortogonal no plano para
.
c)
d)
b) Direções principais:
e ortogonal no plano
c)
d)