Uma placa de 2 \times 3 \mathrm{~m}, ao lado, e de 5 kN de peso é suspensa por três cabos unidos no ponto D, que está localizado acima do centro de gravidade da placa. Para esta situação determine a força que atua em cada cabo.

Passo 1

Temos uma placa retangular de 2\times3 m e peso W=5 kN suspensa por três cabos que se unem em D, localizado verticalmente acima do centro de gravidade da placa. O problema é de equilíbrio de forças concorrentes em três dimensões: precisamos encontrar as tensões T_A, T_B e T_C nos cabos que ligam D aos pontos de ancoragem A, B e C na placa.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos com origem no centro da placa, de modo que:
– o eixo x aponta para a direita;
– o eixo y aponta para cima;
– o eixo z aponta para trás da página.
As dimensões da placa são 3 m no sentido x (da esquerda para a direita) e 2 m no sentido z (da frente para trás). Logo, os pontos de ancoragem têm coordenadas:
A =(-1,\,0,\,1)\quad(\text{m}),\quad B =(+1,\,0,\,1)\quad(\text{m}),\quad C =(0,\,0,\,-1)\quad(\text{m}),
e o ponto D está em
D = (0,\,2{,}5,\,0)\quad(\text{m}).
O peso atua no centro como \mathbf{W}=(0,\,-5,\,0) kN.

Passo 3

Para cada cabo formamos o vetor de D até o ponto de ancoragem e, em seguida, o vetor unitário:
\mathbf{r}_A =A-D =(-1,\,-2{,}5,\,1),\quad \|\mathbf{r}_A\|=\sqrt{1^2+2{,}5^2+1^2}=2{,}872\text{ m},
\mathbf{u}_A =\frac{\mathbf{r}_A}{\|\mathbf{r}_A\|} =\bigl(-0{,}3482,\,-0{,}8704,\;0{,}3482\bigr).
Analogamente,
\mathbf{r}_B =(1,\,-2{,}5,\,1),\quad \|\mathbf{r}_B\|=2{,}872\text{ m},\quad \mathbf{u}_B =(0{,}3482,\,-0{,}8704,\;0{,}3482),
\mathbf{r}_C =(0,\,-2{,}5,\,-1),\quad \|\mathbf{r}_C\|=2{,}693\text{ m},\quad \mathbf{u}_C =(0,\,-0{,}9285,\,-0{,}3714).

Passo 4

Escrevemos o equilíbrio \displaystyle\sum\mathbf{F}=0:
T_A\,\mathbf{u}_A \;+\;T_B\,\mathbf{u}_B\;+\;T_C\,\mathbf{u}_C\;+\;\mathbf{W} \;=\;\mathbf{0}.
Separando as componentes em x,y,z e lembrando que \mathbf{W}=(0,-5,0) kN, obtemos
em x:
-0{,}3482\,T_A \;+\;0{,}3482\,T_B \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad T_A = T_B,
em z:
0{,}3482\,(T_A+T_B)\;-\;0{,}3714\,T_C \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}6964\,T_A \;=\;0{,}3714\,T_C \;\Rightarrow\; T_C=1{,}8754\,T_A,
em y:
-0{,}8704\,T_A \;-\;0{,}8704\,T_B\;-\;0{,}9285\,T_C\;-\;5\;=\;0.
Substituindo T_B=T_A e T_C=1{,}8754\,T_A na equação em y,
-2\,(0{,}8704)\,T_A \;-\;0{,}9285\,(1{,}8754\,T_A)\;-\;5\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad -3{,}4825\,T_A +5 =0 \quad\Longrightarrow\quad T_A = \frac{5}{3{,}4825}=1{,}436\text{ kN}.
Daí T_B=1{,}436 kN e T_C=1{,}8754\times1{,}436=2{,}692 kN.

Resposta

T_A = 1{,}436 kN, T_B = 1{,}436 kN, T_C = 2{,}692 kN.

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