- No plano complexo, considere a EDO homogênea de segunda ordem
sendo
e
números complexos. Demonstre que:
(a) Se
é uma raiz da equação do segundo grau
então a função
é uma solução da
(2.1).
(b) Se
e
são raízes distintas da equação (2.2), então a solução geral da EDO (2.1) é
sendo
.
(c) Se
é raiz dupla da equação (2.2), então a solução geral da EDO (2.1) é
sendo
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO linear homogênea de segunda ordem no plano complexo
com
, e pede para mostrar que as soluções vêm da equação característica
Passo 2
Para (a), suponha que
seja raiz de
isto é,
Considere
. Calculamos
Substituindo na EDO,
logo
satisfaz a EDO.
Passo 3
Para (b), se
e
são raízes distintas da característica, então
e
são duas soluções. Para ver que são linearmente independentes, considere
Diferenciando e resolvendo o sistema para
, obtemos
. Portanto a solução geral é
com
.
Passo 4
Para (c), se a raiz
é dupla, há apenas uma solução
. Usamos redução de ordem: buscamos
. Substituindo na EDO chega-se a
, cuja solução geral é
. Assim a solução geral da EDO é
com
.
Resposta
(a) Para cada raiz
de
,
é solução.
(b) Se as raízes são distintas , então
(b) Se as raízes são distintas
(c) Se há raiz dupla
, então