1. Fixada uma função inteira \varphi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, considere a EDO não homogênea
\frac{d^{2} w}{d z^{2}}+a \frac{d w}{d z}+b w=\varphi(z),
sendo a e b números complexos. Demonstre que se f_{0}(z) é uma solução particular da equação (2.3), então a solução geral de (2.3) é da forma
f(z)=w(z)+f_{0}(z)
em que w(z) é a solução geral da EDO homogênea (2.1).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} + a\,\frac{dw}{dz} + b\,w = \varphi(z),
onde a,b\in\mathbb{C} e \varphi:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é uma função inteira fixa. Denotemos por
L[y] \;=\; y'' + a\,y' + b\,y
o operador diferencial linear associado. A EDO homogênea correspondente é
L[w]=0.
Queremos provar que, se f_0(z) é uma solução particular de L[f]=\varphi(z), então toda solução geral de L[f]=\varphi(z) pode ser escrita como
f(z)=w(z)+f_0(z),
onde w(z) é solução geral de L[w]=0.

Passo 2

Mostremos primeiro que qualquer função da forma
f(z) = w(z) + f_0(z)
satisfaz L[f]=\varphi(z) desde que L[w]=0 e L[f_0]=\varphi(z). De fato, aplicando o operador L em f obtemos
L[f] = (w+f_0)'' + a\,(w+f_0)' + b\,(w+f_0) = \bigl(w''+a\,w'+b\,w\bigr) + \bigl(f_0''+a\,f_0'+b\,f_0\bigr).
Como w satisfaz a homogênea, o primeiro parêntese é zero, e como f_0 é particular, o segundo é \varphi(z). Logo
L[f]=0 + \varphi(z)=\varphi(z),
ou seja, f é solução da equação não homogênea.

Passo 3

Agora provamos que toda solução f(z) de L[f]=\varphi(z) pode ser escrita na forma acima. Seja f uma solução qualquer de L[f]=\varphi(z). Definamos
w_1(z)=f(z)-f_0(z).
Como L é linear,
L[w_1] = L[f - f_0] = L[f] - L[f_0] = \varphi(z) - \varphi(z) = 0.
Portanto w_1(z) é uma solução da homogênea L[w]=0. Logo
f(z)=w_1(z)+f_0(z),
com w_1 geral da homogênea.

Passo 4

Concluímos que a solução geral de
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} + a\,\frac{dw}{dz} + b\,w = \varphi(z)
é
f(z)=w(z)+f_0(z),
onde w(z) varia por todas as soluções da homogênea w''+a\,w'+b\,w=0.

Resposta

A solução geral da equação não homogênea é
\boxed{f(z) = w(z) + f_{0}(z)},
onde w(z) é a solução geral da homogênea \,w''+a\,w'+b\,w=0 e f_{0}(z) é qualquer solução particular de \,w''+a\,w'+b\,w=\varphi(z).

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