No plano complexo, resolva cada equação diferencial ordinária (EDO) a seguir:
\frac{d^{2} w}{d z^{2}}+w=-z-i, para z \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no domínio complexo z\in\mathbb{C}, a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} + w = -\,z - i.
O método padrão é achar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Consideramos a parte homogênea
\frac{d^{2}w}{dz^{2}} + w = 0.
A equação característica é
\lambda^{2} + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm i.
Portanto duas soluções lineares independentes são e^{iz} e e^{-iz}, ou equivalente
\cos z \quad\text{e}\quad \sin z.
Logo a solução homogênea é
w_{h}(z) = A\cos z + B\sin z,
onde A e B são constantes arbitrárias em \mathbb{C}.

Passo 3

Para a solução particular suponho um polinômio de grau 1 em z:
w_{p}(z) = \alpha\,z + \beta.
Então
w_{p}'(z) = \alpha \quad\text{e}\quad w_{p}''(z) = 0.
Substituindo na EDO não homogênea:
0 + (\alpha\,z + \beta) = -\,z - i \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} \alpha = -1,\\\ \beta = -\,i. \end{cases}
Logo
w_{p}(z) = -\,z - i.

Passo 4

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
w(z) = w_{h}(z) + w_{p}(z) = A\cos z + B\sin z - z - i,
com A,B\in\mathbb{C}.

Resposta

w(z) = A\cos z + B\sin z - z - i,
onde A e B são constantes complexas arbitrárias.

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