No plano complexo, resolva cada equação diferencial ordinária (EDO) a seguir:
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no domínio complexo
, a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
O método padrão é achar primeiro a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Consideramos a parte homogênea
A equação característica é
Portanto duas soluções lineares independentes são
e
, ou equivalente
Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias em
.
Passo 3
Para a solução particular suponho um polinômio de grau 1 em
:
Então
Substituindo na EDO não homogênea:
Logo
Passo 4
A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
com
.
Resposta
onde
e
são constantes complexas arbitrárias.