- No plano complexo, resolva a EDO não homogênea
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
com as condições iniciais
e
.
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar:
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar:
- Solução geral da equação homogênea via equação característica.
- Método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular polinomial.
- Ajustar constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
fazemos
, o que leva à característica
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Procurando uma solução particular
para o termo não homogêneo
, tentamos um polinômio de grau 1:
Então
Substituindo em
, obtemos
Igualando coeficientes de
e constantes, vem
Logo
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro, em :
Primeiro, em
Em seguida calculamos
. Da soma,
e
Logo
Em
:
Mas
deve valer
, então
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos