- Fixada uma função inteira
, considere a EDO não homogênea
sendo
e
números complexos. Demonstre que se
é uma solução particular da equação (2.3), então a solução geral de (2.3) é da forma
em que
é a solução geral da EDO homogênea (2.1).
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
onde
e
é uma função inteira fixa. Denotemos por
o operador diferencial linear associado. A EDO homogênea correspondente é
Queremos provar que, se
é uma solução particular de
, então toda solução geral de
pode ser escrita como
onde
é solução geral de
.
Passo 2
Mostremos primeiro que qualquer função da forma
satisfaz
desde que
e
. De fato, aplicando o operador
em
obtemos
Como
satisfaz a homogênea, o primeiro parêntese é zero, e como
é particular, o segundo é
. Logo
ou seja,
é solução da equação não homogênea.
Passo 3
Agora provamos que toda solução
de
pode ser escrita na forma acima. Seja
uma solução qualquer de
. Definamos
Como
é linear,
Portanto
é uma solução da homogênea
. Logo
com
geral da homogênea.
Passo 4
Concluímos que a solução geral de
é
onde
varia por todas as soluções da homogênea
.
Resposta
A solução geral da equação não homogênea é
onde
é a solução geral da homogênea
e
é qualquer solução particular de
.