Um plano contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}. Determine o vetor unitário normal ao plano quando \mathbf{A} e \mathbf{B} são iguais, respectivamente, (a) 2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}- 6 \mathbf{k} e 5 \mathbf{i}-8 \mathbf{j}-6 \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor unitário normal ao plano que contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}, quando eles valem, respectivamente, \mathbf{A}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k} e \mathbf{B}=5\mathbf{i}-8\mathbf{j}-6\mathbf{k}.
Informações relevantes fornecidas:
Os componentes de \mathbf{A} são (2,\,3,\,-6).
Os componentes de \mathbf{B} são (5,\,-8,\,-6).
O objetivo é um vetor unitário (norma igual a 1) que seja normal (perpendicular) ao plano gerado por \mathbf{A} e \mathbf{B}.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): um vetor normal ao plano determinado por dois vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} é dado pelo produto vetorial (ou “cross product”) \mathbf{A}\times\mathbf{B}. O produto vetorial produz um vetor perpendicular a ambos os vetores de entrada. Depois de obter esse vetor normal, para transformá‑lo em vetor unitário divide‑se pelo seu módulo (norma).
Vou então:
calcular \mathbf{A}\times\mathbf{B},
calcular o módulo desse vetor,
dividir o vetor pelo módulo para obter o vetor unitário.
Não se preocupe — vou explicar cada fórmula e cada conta.
Passo 3
Fórmula do produto vetorial (forma prática via determinante): para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z),
Breve comentário intuitivo: esse vetor é perpendicular aos dois vetores dados — você poderia verificar que o produto escalar dele com \mathbf{A} e com \mathbf{B} é zero (se quiser confirmar).]
Passo 5
Agora calculamos o módulo (norma) do vetor normal \mathbf{N}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}. Para um vetor \mathbf{N}=(N_x,N_y,N_z) a norma é
Observação sobre o sinal: se \mathbf{\hat{n}} é normal ao plano, então -\mathbf{\hat{n}} também é normal. Ou seja, a normal não tem direção orientada única — ambas as direções são corretas. Por isso costuma‑se indicar o vetor unitário normal com um \pm quando a orientação não foi especificada.
Passo 7
Se quiser uma aproximação decimal para uso prático (por exemplo, para conferir em cálculo numérico): \sqrt{5641}\approx 75{,}106, logo