Um plano contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}. Determine o vetor unitário normal ao plano quando \mathbf{A} e \mathbf{B} são iguais, respectivamente, (a)
2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}- 6 \mathbf{k} e 5 \mathbf{i}-8 \mathbf{j}-6 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor unitário normal ao plano que contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}, quando eles valem, respectivamente,
\mathbf{A}=2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k} e \mathbf{B}=5\mathbf{i}-8\mathbf{j}-6\mathbf{k}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os componentes de \mathbf{A} são (2,\,3,\,-6).
  • Os componentes de \mathbf{B} são (5,\,-8,\,-6).
  • O objetivo é um vetor unitário (norma igual a 1) que seja normal (perpendicular) ao plano gerado por \mathbf{A} e \mathbf{B}.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): um vetor normal ao plano determinado por dois vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} é dado pelo produto vetorial (ou “cross product”) \mathbf{A}\times\mathbf{B}. O produto vetorial produz um vetor perpendicular a ambos os vetores de entrada. Depois de obter esse vetor normal, para transformá‑lo em vetor unitário divide‑se pelo seu módulo (norma).
Vou então:
  1. calcular \mathbf{A}\times\mathbf{B},
  2. calcular o módulo desse vetor,
  3. dividir o vetor pelo módulo para obter o vetor unitário.
Não se preocupe — vou explicar cada fórmula e cada conta.

Passo 3

Fórmula do produto vetorial (forma prática via determinante): para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z),
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Em coordenadas (fórmula para cada componente):
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\bigl(A_yB_z-A_zB_y\bigr)\mathbf{i} +\bigl(A_zB_x-A_xB_z\bigr)\mathbf{j} +\bigl(A_xB_y-A_yB_x\bigr)\mathbf{k}.
Aqui cada termo é um produto e subtração simples — vou aplicar aos números dados.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \mathbf{A}=(2,\,3,\,-6) e \mathbf{B}=(5,\,-8,\,-6):
Calcule cada componente:
\begin{aligned} \text{componente em }\mathbf{i}:&\quad A_yB_z-A_zB_y = 3\cdot(-6)-(-6)\cdot(-8) = -18 - 48 = -66,\\[6pt] \text{componente em }\mathbf{j}:&\quad A_zB_x-A_xB_z = (-6)\cdot 5 - 2\cdot(-6) = -30 -(-12) = -30 +12 = -18,\\[6pt] \text{componente em }\mathbf{k}:&\quad A_xB_y-A_yB_x = 2\cdot(-8)-3\cdot 5 = -16 -15 = -31. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{A}\times\mathbf{B}= -66\,\mathbf{i}-18\,\mathbf{j}-31\,\mathbf{k}.
Breve comentário intuitivo: esse vetor é perpendicular aos dois vetores dados — você poderia verificar que o produto escalar dele com \mathbf{A} e com \mathbf{B} é zero (se quiser confirmar).]

Passo 5

Agora calculamos o módulo (norma) do vetor normal \mathbf{N}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}. Para um vetor \mathbf{N}=(N_x,N_y,N_z) a norma é
\|\mathbf{N}\|=\sqrt{N_x^2+N_y^2+N_z^2}.
Aqui N_x=-66, N_y=-18, N_z=-31. Então:
\|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\| = \sqrt{(-66)^2+(-18)^2+(-31)^2} = \sqrt{4356+324+961} = \sqrt{5641}.
Nota: somei os quadrados termo a termo: 66^2=4356, 18^2=324, 31^2=961. O resultado 5641 não tem fator quadrado óbvio, então mantemos \sqrt{5641}.

Passo 6

Normalização (fazer o vetor unitário): dividir o vetor normal pelo seu módulo. O vetor unitário \mathbf{\hat{n}} (normalizado) é
\mathbf{\hat{n}}=\dfrac{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\|} = \dfrac{-66\,\mathbf{i}-18\,\mathbf{j}-31\,\mathbf{k}}{\sqrt{5641}}.
Observação sobre o sinal: se \mathbf{\hat{n}} é normal ao plano, então -\mathbf{\hat{n}} também é normal. Ou seja, a normal não tem direção orientada única — ambas as direções são corretas. Por isso costuma‑se indicar o vetor unitário normal com um \pm quando a orientação não foi especificada.

Passo 7

Se quiser uma aproximação decimal para uso prático (por exemplo, para conferir em cálculo numérico): \sqrt{5641}\approx 75{,}106, logo
\mathbf{\hat{n}}\approx \dfrac{1}{75{,}106}\bigl(-66,-18,-31\bigr) \approx \bigl(-0{,}8789,\,-0{,}2396,\,-0{,}4129\bigr).
Isso é só para intuição; a forma exata em radical é preferível em provas.

Resposta

\displaystyle \pm \dfrac{66\mathbf{i}+18\mathbf{j}+31\mathbf{k}}{\sqrt{5641}}

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