3.18 Uma linha passa pelos pontos
e
. Determine a distância perpendicular
da linha até a origem
do sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos por onde passa uma reta e pede a distância perpendicular dessa reta até a origem
. Informações fornecidas:
- Ponto
. - Ponto
.
O que é pedido:
- Calcular a distância perpendicular
entre a reta que passa por e e a origem .
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a equação da reta que passa por dois pontos. Uma forma conveniente (e que sempre funciona) é obter os coeficientes
de uma equação do tipo
que satisfaça os dois pontos. Usaremos a fórmula obtida a partir do determinante (ou da expressão que anula quando substituímos cada ponto):
onde
e
. Essa fórmula garante que, ao substituir
ou
, a igualdade se verifica (vou mostrar isso ao aplicar).
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
:
Portanto uma equação da reta é
Verificação rápida: para
temos
, e para
também dá zero, então a equação está correta.
Passo 4
Agora vamos à fórmula da distância de um ponto
até a reta
. A fórmula é
Explicação didática e intuitiva: o vetor normal da reta é
. A expressão
mede, com sinal, a projeção (até um fator) da posição do ponto sobre esse vetor normal; dividir por
normaliza o comprimento do normal, resultando na distância perpendicular. Essa é a fórmula padrão que aparece em geometria analítica e pode ser derivada por projeção ortogonal ou por área do triângulo formado pelo ponto e dois pontos da reta.
Passo 5
No nosso caso o ponto é a origem
. Substituindo na fórmula obtemos
Como já calculamos
,
,
, temos
Passo 6
Podemos deixar
em forma exata ou em forma numérica aproximada. A forma exata é
Calculando numericamente
, então