3.18 Uma linha passa pelos pontos (12 \mathrm{~m}, 8 \mathrm{~m}) e (-3 \mathrm{~m},-5 \mathrm{~m}). Determine a distância perpendicular d da linha até a origem O do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos por onde passa uma reta e pede a distância perpendicular dessa reta até a origem O. Informações fornecidas:
  • Ponto P_1 = (12\\ \mathrm{m},\,8\\ \mathrm{m}).
  • Ponto P_2 = (-3\\ \mathrm{m},\,-5\\ \mathrm{m}).
O que é pedido:
  • Calcular a distância perpendicular d entre a reta que passa por P_1 e P_2 e a origem O=(0,0).

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a equação da reta que passa por dois pontos. Uma forma conveniente (e que sempre funciona) é obter os coeficientes a,b,c de uma equação do tipo
a x + b y + c = 0,
que satisfaça os dois pontos. Usaremos a fórmula obtida a partir do determinante (ou da expressão que anula quando substituímos cada ponto):
a = y_1 - y_2,\qquad b = x_2 - x_1,\qquad c = x_1 y_2 - x_2 y_1,
onde (x_1,y_1)=P_1 e (x_2,y_2)=P_2. Essa fórmula garante que, ao substituir (x,y)=(x_1,y_1) ou (x_2,y_2), a igualdade se verifica (vou mostrar isso ao aplicar).

Passo 3

Aplicando a fórmula com P_1=(12,8) e P_2=(-3,-5):
a = 8 - (-5) = 13,
b = -3 - 12 = -15,
c = 12\cdot(-5) - (-3)\cdot 8 = -60 - (-24) = -36.
Portanto uma equação da reta é
13x - 15y - 36 = 0.
Verificação rápida: para P_1 temos 13\cdot12 -15\cdot8 -36 = 156-120-36=0, e para P_2 também dá zero, então a equação está correta.

Passo 4

Agora vamos à fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) até a reta a x + b y + c = 0. A fórmula é
\text{dist} = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
Explicação didática e intuitiva: o vetor normal da reta é (a,b). A expressão a x_0 + b y_0 + c mede, com sinal, a projeção (até um fator) da posição do ponto sobre esse vetor normal; dividir por \sqrt{a^2+b^2} normaliza o comprimento do normal, resultando na distância perpendicular. Essa é a fórmula padrão que aparece em geometria analítica e pode ser derivada por projeção ortogonal ou por área do triângulo formado pelo ponto e dois pontos da reta.

Passo 5

No nosso caso o ponto é a origem (x_0,y_0)=(0,0). Substituindo na fórmula obtemos
d = \frac{|a\cdot 0 + b\cdot 0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
Como já calculamos a=13, b=-15, c=-36, temos
d = \frac{|-36|}{\sqrt{13^2 + (-15)^2}} = \frac{36}{\sqrt{169 + 225}} = \frac{36}{\sqrt{394}}.

Passo 6

Podemos deixar d em forma exata ou em forma numérica aproximada. A forma exata é
d = \dfrac{36}{\sqrt{394}}\\ \text{m}.
Calculando numericamente \sqrt{394}\approx 19{,}849, então
d \approx 1{,}813\\ \text{m}.

Resposta

\,d=\dfrac{36}{\sqrt{394}}\\ \text{m}\approx1{,}813\\ \text{m}

Exercícios relacionados