Um plano contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}. Determine o vetor unitário normal ao plano quando \mathbf{A} e \mathbf{B} são iguais, respectivamente,
2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}- 6 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor unitário normal ao plano que contém os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}. O único dado numérico que aparece no enunciado é o vetor
2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}.
Observação importante: o enunciado parece listar dois vetores “respectivamente”, mas foi enviado apenas um vetor. Portanto falta a informação do segundo vetor \mathbf{B} (ou falta confirmar se \mathbf{A} e \mathbf{B} são iguais entre si). Sem o segundo vetor o problema está incompleto.

Passo 2

O que normalmente se faz (aula rapidinha explicando o método):
  • Para obter um vetor normal ao plano gerado por \mathbf{A} e \mathbf{B} usa-se o produto vetorial. O produto vetorial \mathbf{A}\times\mathbf{B} é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{A} e \mathbf{B}.
  • O vetor unitário normal (com comprimento 1) é dado por
\mathbf{n}=\pm\frac{\mathbf{A}\times\mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\|},
onde o \pm indica que há dois sentidos opostos possíveis (ambos normais ao plano).

Passo 3

Como calcular na prática o produto vetorial e a norma (explicação passo a passo):
  • Escrevendo componentes: suponha \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z).
  • O produto vetorial tem componentes
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\mathbf{i}+(A_zB_x-A_xB_z)\mathbf{j}+(A_xB_y-A_yB_x)\mathbf{k}.
Explicação do porquê: cada componente é a diferença de produtos cruzados das componentes restantes (pode-se memorizar via determinante 3×3 com a primeira linha \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}).
  • A norma de um vetor \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z) é
\|\mathbf{V}\|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}.
  • Portanto, após obter \mathbf{A}\times\mathbf{B}, divide-se cada componente pela norma para obter o vetor unitário.

Passo 4

Casos especiais importantes (para a prova — não pule isto):
  • Se \mathbf{A} e \mathbf{B} forem paralelos (ou iguais, ou um for múltiplo escalar do outro), então \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{0}. Nesse caso não existe um único plano determinado por dois vetores distintos: ambos definem a mesma direção de reta, não geram um plano, logo não há vetor normal definido por esse par (o produto vetorial nulo impede normal bem definido).
  • Por isso é fundamental que \mathbf{A} e \mathbf{B} sejam não paralelos para que a fórmula acima funcione.

Passo 5

Aplicação ao enunciado recebido:
  • Foi dado apenas um vetor \;2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}\;. Falta o segundo vetor \mathbf{B} para calcular \mathbf{A}\times\mathbf{B}.
  • Alternativa que às vezes ocorre: se o enunciado quis dizer que \mathbf{A} e \mathbf{B} são iguais e ambos valem \;2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}, então eles são paralelos (na verdade idênticos) e
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{0},
portanto não existe vetor normal determinado por esse par (produto vetorial nulo).
  • Se a intenção for outra (ex.: \mathbf{A}=(2,3,-6) e \mathbf{B} distinto), então, assim que for conhecido o segundo vetor \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), procede-se exatamente como expliquei: calcula-se \mathbf{A}\times\mathbf{B} usando a fórmula do Passo 3 e depois normaliza-se.

Passo 6

Exemplo didático (não é solução do enunciado porque o segundo vetor não foi dado; é só para você ver como aplicar em prova):
  • Suponha que, além de \mathbf{A}=(2,3,-6), tivéssemos \mathbf{B}=(0,1,0). Então
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=(3\cdot 0-(-6)\cdot 1)\mathbf{i}+(-6\cdot 0-2\cdot 0)\mathbf{j}+(2\cdot 1-3\cdot 0)\mathbf{k}=6\mathbf{i}+0\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
  • A norma é \|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\|=\sqrt{6^2+0^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
  • O vetor unitário normal seria então
\mathbf{n}=\pm\frac{1}{2\sqrt{10}}\bigl(6\mathbf{i}+0\mathbf{j}+2\mathbf{k}\bigr)=\pm\Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}}\mathbf{i}+0\mathbf{j}+\frac{1}{\sqrt{10}}\mathbf{k}\Bigr).
Isto é um exemplo de aplicação completa; repete o mesmo processo com o \mathbf{B} correto quando você tiver ele.

Resposta

Não é possível determinar o vetor unitário normal porque o enunciado forneceu apenas um vetor ( 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}); falta o segundo vetor \mathbf{B}. Se, por outro lado, \mathbf{A}=\mathbf{B}=(2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-6\mathbf{k}), então \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{0} e não existe vetor normal definido.

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