Um plano contém os vetores
e
. Determine o vetor unitário normal ao plano quando
e
são iguais, respectivamente,
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor unitário normal ao plano que contém os vetores
e
. O único dado numérico que aparece no enunciado é o vetor
Observação importante: o enunciado parece listar dois vetores “respectivamente”, mas foi enviado apenas um vetor. Portanto falta a informação do segundo vetor
(ou falta confirmar se
e
são iguais entre si). Sem o segundo vetor o problema está incompleto.
Passo 2
O que normalmente se faz (aula rapidinha explicando o método):
- Para obter um vetor normal ao plano gerado por
e usa-se o produto vetorial. O produto vetorial é um vetor perpendicular a ambos e . - O vetor unitário normal (com comprimento 1) é dado por
onde o
indica que há dois sentidos opostos possíveis (ambos normais ao plano).
Passo 3
Como calcular na prática o produto vetorial e a norma (explicação passo a passo):
- Escrevendo componentes: suponha
e . - O produto vetorial tem componentes
Explicação do porquê: cada componente é a diferença de produtos cruzados das componentes restantes (pode-se memorizar via determinante 3×3 com a primeira linha
).
- A norma de um vetor
é
- Portanto, após obter
, divide-se cada componente pela norma para obter o vetor unitário.
Passo 4
Casos especiais importantes (para a prova — não pule isto):
- Se
e forem paralelos (ou iguais, ou um for múltiplo escalar do outro), então . Nesse caso não existe um único plano determinado por dois vetores distintos: ambos definem a mesma direção de reta, não geram um plano, logo não há vetor normal definido por esse par (o produto vetorial nulo impede normal bem definido). - Por isso é fundamental que
e sejam não paralelos para que a fórmula acima funcione.
Passo 5
Aplicação ao enunciado recebido:
- Foi dado apenas um vetor
. Falta o segundo vetor para calcular . - Alternativa que às vezes ocorre: se o enunciado quis dizer que
e são iguais e ambos valem , então eles são paralelos (na verdade idênticos) e
portanto não existe vetor normal determinado por esse par (produto vetorial nulo).
- Se a intenção for outra (ex.:
e distinto), então, assim que for conhecido o segundo vetor , procede-se exatamente como expliquei: calcula-se usando a fórmula do Passo 3 e depois normaliza-se.
Passo 6
Exemplo didático (não é solução do enunciado porque o segundo vetor não foi dado; é só para você ver como aplicar em prova):
- Suponha que, além de
, tivéssemos . Então
- A norma é
. - O vetor unitário normal seria então
Isto é um exemplo de aplicação completa; repete o mesmo processo com o
correto quando você tiver ele.
Resposta
Não é possível determinar o vetor unitário normal porque o enunciado forneceu apenas um vetor (
); falta o segundo vetor
. Se, por outro lado,
, então
e não existe vetor normal definido.