No plano horizontal de um elemento atuam uma tensão normal de 400 kPa e uma tensão cisalhante de 100 kPa . No plano vertical, a tensão normal é de 200 kPa e a de cisalhamento é - 100 kPa . Determinar:
a) O plano principal maior;
b) As tensões num plano inclinado de
com a horizontal
a) O plano principal maior;
b) As tensões num plano inclinado de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar o plano principal maior (ou seja, a orientação do plano onde a tensão normal é máxima e o valor dessa tensão principal);
- (b) determinar as tensões (normal e de cisalhamento) num plano inclinado de
com a horizontal.
As informações dadas (valores numéricos) são:
- No plano horizontal: tensão normal
e tensão de cisalhamento . - No plano vertical: tensão normal
e tensão de cisalhamento .
Vou tomar um sistema de coordenadas simples para organizar esses dados:
- eixo
horizontal e eixo vertical; -
= tensão normal na face com normal na direção (plano vertical); -
= tensão normal na face com normal na direção (plano horizontal); -
= componente de cisalhamento no plano cuja normal é , medida na direção (o sinal dado pelo enunciado será usado conforme declarado).
Com isso, a leitura dos dados fica:
-
(tensão no plano vertical), -
(tensão no plano horizontal), -
(o enunciado deu para o cisalhamento no plano vertical).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma didática):
- Transformação de tensões 2D — fórmulas úteis:
- Para um plano que faz um ângulo
com o eixo (aqui é o ângulo do próprio plano medido a partir do eixo , no sentido anti-horário), as tensões no plano são dadas por
Explicando cada símbolo:
-
é a tensão normal na face inclinada de ângulo ; -
é a tensão de cisalhamento nessa mesma face (módulo com sinal, conforme convenção); -
são as componentes conhecidas no sistema original.
- Tensões principais — fórmulas e ideia:
- As tensões principais são os valores extremos da tensão normal obtida quando
. Elas podem ser obtidas por
- A média das tensões normais é
. O termo sob a raiz é o raio de Mohr (representa a influência do desbalanceamento entre e do cisalhamento). - O ângulo do plano principal (isto é, o ângulo
do plano onde aparece e ) satisfaz
Observação:
aparece porque a transformação depende de
e
.
Vou aplicar essas fórmulas usando os valores que listei em
Passo 3
Cálculo das tensões principais passo a passo.
- Calcular a média:
- Calcular a meia-diferença:
- Calcular o termo sob a raiz (o “raio”):
- Então as tensões principais são
Aqui
é a maior (principal maior) e
a menor.
Passo 4
Determinar a orientação do plano principal maior.
Usar
Substituindo:
Portanto
Interpretação: o plano (medido a partir do eixo
, que aqui é horizontal) que suporta a tensão normal máxima
tem inclinação
. (Existe também o plano ortogonal
que carrega
.)
Passo 5
Cálculo das tensões no plano inclinado
com a horizontal.
Aqui a inclinação do plano é
. Usamos as fórmulas de transformação, e aproveitamos que para
vale
e
.
- Tensão normal:
Substituindo:
- Tensão de cisalhamento:
Como
para
, o segundo termo some. Assim
Portanto no plano inclinado
obtém-se
e
.
Resposta
(a) Plano principal maior: plano com inclinação
em relação à horizontal; tensão principal máxima
.
(b) No plano inclinado de com a horizontal: tensão normal
e tensão de cisalhamento
.
(b) No plano inclinado de