No plano horizontal de um elemento atuam uma tensão normal de 400 kPa e uma tensão cisalhante de 100 kPa . No plano vertical, a tensão normal é de 200 kPa e a de cisalhamento é - 100 kPa . Determinar:
a) O plano principal maior;
b) As tensões num plano inclinado de 45^{\circ} com a horizontal

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar o plano principal maior (ou seja, a orientação do plano onde a tensão normal é máxima e o valor dessa tensão principal);
  • (b) determinar as tensões (normal e de cisalhamento) num plano inclinado de 45^\circ com a horizontal.
As informações dadas (valores numéricos) são:
  • No plano horizontal: tensão normal =400\\ \text{kPa} e tensão de cisalhamento =100\\ \text{kPa}.
  • No plano vertical: tensão normal =200\\ \text{kPa} e tensão de cisalhamento =-100\\ \text{kPa}.
Vou tomar um sistema de coordenadas simples para organizar esses dados:
  • eixo x horizontal e eixo y vertical;
  • \sigma_x = tensão normal na face com normal na direção x (plano vertical);
  • \sigma_y = tensão normal na face com normal na direção y (plano horizontal);
  • \tau_{xy} = componente de cisalhamento no plano cuja normal é x, medida na direção y (o sinal dado pelo enunciado será usado conforme declarado).
Com isso, a leitura dos dados fica:
  • \sigma_x = 200\\ \text{kPa} (tensão no plano vertical),
  • \sigma_y = 400\\ \text{kPa} (tensão no plano horizontal),
  • \tau_{xy} = -100\\ \text{kPa} (o enunciado deu -100\\ \text{kPa} para o cisalhamento no plano vertical).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma didática):
  1. Transformação de tensões 2D — fórmulas úteis:
  • Para um plano que faz um ângulo \alpha com o eixo x (aqui \alpha é o ângulo do próprio plano medido a partir do eixo x, no sentido anti-horário), as tensões no plano são dadas por
\sigma_n = \sigma_x\cos^2\alpha + \sigma_y\sin^2\alpha + 2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha,
\tau_n = (\sigma_y-\sigma_x)\sin\alpha\cos\alpha + \tau_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha).
Explicando cada símbolo:
  • \sigma_n é a tensão normal na face inclinada de ângulo \alpha;
  • \tau_n é a tensão de cisalhamento nessa mesma face (módulo com sinal, conforme convenção);
  • \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} são as componentes conhecidas no sistema original.
  1. Tensões principais — fórmulas e ideia:
  • As tensões principais são os valores extremos da tensão normal obtida quando \tau_n=0. Elas podem ser obtidas por
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 }.
  • A média das tensões normais é \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2}. O termo sob a raiz é o raio de Mohr (representa a influência do desbalanceamento entre \sigma_x,\sigma_y e do cisalhamento).
  • O ângulo do plano principal (isto é, o ângulo \alpha_p do plano onde aparece \sigma_1 e \sigma_2) satisfaz
\tan 2\alpha_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Observação: 2\alpha_p aparece porque a transformação depende de \sin 2\alpha e \cos 2\alpha.
Vou aplicar essas fórmulas usando os valores que listei em

Passo 3

Cálculo das tensões principais passo a passo.
  1. Calcular a média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{200+400}{2}=300\\ \text{kPa}.
  1. Calcular a meia-diferença:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{200-400}{2}=-100\\ \text{kPa}.
  1. Calcular o termo sob a raiz (o “raio”):
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{(-100)^2+(-100)^2} =\sqrt{10000+10000} =\sqrt{20000}.
R=\sqrt{20000}\approx 141,421\\ \text{kPa}.
  1. Então as tensões principais são
\sigma_1 = 300 + 141,421 \approx 441,421\\ \text{kPa},
\sigma_2 = 300 - 141,421 \approx 158,579\\ \text{kPa}.
Aqui \sigma_1 é a maior (principal maior) e \sigma_2 a menor.

Passo 4

Determinar a orientação do plano principal maior.
Usar
\tan 2\alpha_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Substituindo:
\tan 2\alpha_p = \frac{2(-100)}{200-400} = \frac{-200}{-200}=1.
Portanto
2\alpha_p = 45^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha_p = 22,5^\circ.
Interpretação: o plano (medido a partir do eixo x, que aqui é horizontal) que suporta a tensão normal máxima \sigma_1 tem inclinação \alpha_p=22,5^\circ. (Existe também o plano ortogonal \alpha_p+90^\circ=112,5^\circ que carrega \sigma_2.)

Passo 5

Cálculo das tensões no plano inclinado 45^\circ com a horizontal.
Aqui a inclinação do plano é \alpha=45^\circ. Usamos as fórmulas de transformação, e aproveitamos que para \alpha=45^\circ vale \cos^2\alpha=\sin^2\alpha=\tfrac12 e \sin\alpha\cos\alpha=\tfrac12.
  1. Tensão normal:
\sigma_n=\sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha+2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha.
Substituindo:
\sigma_n=200\cdot\frac12+400\cdot\frac12+2(-100)\cdot\frac12 =100+200-100=200\\ \text{kPa}.
  1. Tensão de cisalhamento:
\tau_n=(\sigma_y-\sigma_x)\sin\alpha\cos\alpha+\tau_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha).
Como \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=0 para \alpha=45^\circ, o segundo termo some. Assim
\tau_n=(400-200)\cdot\frac12 + (-100)\cdot 0 = 200\cdot\frac12 =100\\ \text{kPa}.
Portanto no plano inclinado 45^\circ obtém-se \sigma_n=200\\ \text{kPa} e \tau_n=100\\ \text{kPa}.

Resposta

(a) Plano principal maior: plano com inclinação \alpha=22,5^\circ em relação à horizontal; tensão principal máxima \sigma_1 \approx 441,421\\ \text{kPa}.
(b) No plano inclinado de 45^\circ com a horizontal: tensão normal \sigma_n = 200\\ \text{kPa} e tensão de cisalhamento \tau_n = 100\\ \text{kPa}.

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