Nos planos vertical e horizontal de um elemento de solo, atuam as tensões principais de 100 kPa e 300 kPa , respectivamente. Determinar:
a) As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de 30^{\circ} com o plano principal maior;

Passo 1

O enunciado fornece as tensões principais atuando nos planos vertical e horizontal e pede as tensões que atuam num plano que forma um ângulo de 30^\circ com o plano principal maior. Dados e perguntas explicitados:
  • Tensões principais:
    • No plano vertical: \,100\\ \text{kPa}\,.
    • No plano horizontal: \,300\\ \text{kPa}\,.
  • Interpretação que vamos usar (da frase do enunciado): o plano horizontal tem a maior tensão principal ( 300\\ \text{kPa}) e o plano vertical tem a menor ( 100\\ \text{kPa}).
  • O que se pede: determinar as tensões que atuam no plano que forma um ângulo de 30^\circ com o plano do maior esforço principal. Ou seja, calcular a tensão normal e a tensão de cisalhamento no plano que está a \theta=30^\circ do eixo principal onde atua \,300\\ \text{kPa}\,.

Passo 2

Escolha de eixos e definição das incógnitas (para ficar claro o que vamos calcular):
  • Coloca-se o eixo x alinhado com o plano onde age a maior tensão principal; nesse eixo x a tensão normal é \sigma_1=300\\ \text{kPa}.
  • O eixo y fica alinhado com o plano da menor tensão principal; nesse eixo a tensão normal é \sigma_2=100\\ \text{kPa}.
  • Como são tensões principais, o cisalhamento nos eixos principais é nulo: \tau_{xy}=0.
  • Queremos as componentes da tensão num plano que faz um ângulo \theta=30^\circ em relação ao eixo x (eixo da maior tensão): a tensão normal nesse plano \sigma_n e a tensão de cisalhamento nesse plano \tau_n.

Passo 3

Fórmulas de transformação (explicação didática do porquê e o que significa cada termo):
  • Quando rotacionamos o sistema de eixos em problemas de tensões planas, as componentes da tensão transformam-se segundo fórmulas que resultam da decomposição das forças sobre um elemento infinitesimal e da condição de equilíbrio. Para o caso em que os eixos originais são os eixos principais (onde \tau_{xy}=0), as fórmulas simplificadas para o plano a um ângulo \theta do eixo x são:
\sigma_n = \frac{\sigma_1+\sigma_2}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\cos(2\theta)
\tau_n = \frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\sin(2\theta)
  • Onde:
    • \sigma_n é a tensão normal sobre o plano girado de \theta,
    • \tau_n é a tensão de cisalhamento sobre esse mesmo plano (sinal indicará sentido),
    • \sigma_1 e \sigma_2 são as tensões principais (aqui \sigma_1 maior e \sigma_2 menor),
    • \theta é o ângulo entre o eixo de \sigma_1 e a normal ao plano que se analisa (ou entre os planos, conforme escolha; aqui usamos a convenção descrita nos passos anteriores),
    • As funções \cos(2\theta) e \sin(2\theta) aparecem porque a transformação envolve termos em seno e cosseno do dobro do ângulo (isso é consequência da trigonometria da rotação de eixos).

Passo 4

Calcular os termos intermediários numéricos (para não se perder nos sinais e coeficientes):
\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2}=\frac{300+100}{2}=200\\ \text{kPa}
\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=\frac{300-100}{2}=100\\ \text{kPa}
Calcular \cos(2\theta) e \sin(2\theta) para \theta=30^\circ:
2\theta=60^\circ,\qquad \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Substituir nas fórmulas e obter as tensões no plano pedido:
\sigma_n = 200 + 100\cdot\cos(60^\circ)=200 + 100\cdot\tfrac{1}{2}=200+50=250\\ \text{kPa}
\tau_n = 100\cdot\sin(60^\circ)=100\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\\ \text{kPa}\approx 86{,}6\\ \text{kPa}
Observação útil de verificação: a tensão normal no plano perpendicular a este (ângulo \theta+90^\circ) será \sigma_{n,\perp}= (\sigma_1+\sigma_2)-\sigma_n = 400-250=150\\ \text{kPa}, e o cisalhamento nesse plano tem o mesmo módulo e sinal oposto ( -\tau_n). Isso é consistente com as propriedades da transformação de tensões (cheque rápido para evitar erros de conta).

Passo 6

Resumo final e um incentivo prático (rápido): então, no plano que forma 30^\circ com o plano do maior esforço principal, a normal é maior que a média (por causa da orientação) e aparece um cisalhamento significativo \approx86{,}6\\ \text{kPa}. Boa! Esses passos (calcular média, meia-diferença, usar \cos(2\theta) e \sin(2\theta)) resolvem praticamente qualquer problema 2D de transformação de tensões sem muita dor de cabeça.

Resposta

\sigma_n=250\\ \text{kPa}
\tau_n=50\sqrt{3}\\ \text{kPa}\approx 86{,}6\\ \text{kPa}

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