Nos planos vertical e horizontal de um elemento de solo, atuam as tensões principais de 100 kPa e 300 kPa , respectivamente. Determinar:
a) As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de
com o plano principal maior;
a) As tensões que atuam num plano que forma um ângulo de
Passo 1
O enunciado fornece as tensões principais atuando nos planos vertical e horizontal e pede as tensões que atuam num plano que forma um ângulo de
com o plano principal maior. Dados e perguntas explicitados:
- Tensões principais:
- No plano vertical:
. - No plano horizontal:
.
- No plano vertical:
- Interpretação que vamos usar (da frase do enunciado): o plano horizontal tem a maior tensão principal (
) e o plano vertical tem a menor ( ). - O que se pede: determinar as tensões que atuam no plano que forma um ângulo de
com o plano do maior esforço principal. Ou seja, calcular a tensão normal e a tensão de cisalhamento no plano que está a do eixo principal onde atua .
Passo 2
Escolha de eixos e definição das incógnitas (para ficar claro o que vamos calcular):
- Coloca-se o eixo
alinhado com o plano onde age a maior tensão principal; nesse eixo a tensão normal é . - O eixo
fica alinhado com o plano da menor tensão principal; nesse eixo a tensão normal é . - Como são tensões principais, o cisalhamento nos eixos principais é nulo:
. - Queremos as componentes da tensão num plano que faz um ângulo
em relação ao eixo (eixo da maior tensão): a tensão normal nesse plano e a tensão de cisalhamento nesse plano .
Passo 3
Fórmulas de transformação (explicação didática do porquê e o que significa cada termo):
- Quando rotacionamos o sistema de eixos em problemas de tensões planas, as componentes da tensão transformam-se segundo fórmulas que resultam da decomposição das forças sobre um elemento infinitesimal e da condição de equilíbrio. Para o caso em que os eixos originais são os eixos principais (onde
), as fórmulas simplificadas para o plano a um ângulo do eixo são:
- Onde:
-
é a tensão normal sobre o plano girado de , -
é a tensão de cisalhamento sobre esse mesmo plano (sinal indicará sentido), -
e são as tensões principais (aqui maior e menor), -
é o ângulo entre o eixo de e a normal ao plano que se analisa (ou entre os planos, conforme escolha; aqui usamos a convenção descrita nos passos anteriores), - As funções
e aparecem porque a transformação envolve termos em seno e cosseno do dobro do ângulo (isso é consequência da trigonometria da rotação de eixos).
-
Passo 4
Calcular os termos intermediários numéricos (para não se perder nos sinais e coeficientes):
Calcular
e
para
:
Passo 5
Substituir nas fórmulas e obter as tensões no plano pedido:
Observação útil de verificação: a tensão normal no plano perpendicular a este (ângulo
) será
, e o cisalhamento nesse plano tem o mesmo módulo e sinal oposto (
). Isso é consistente com as propriedades da transformação de tensões (cheque rápido para evitar erros de conta).
Passo 6
Resumo final e um incentivo prático (rápido): então, no plano que forma
com o plano do maior esforço principal, a normal é maior que a média (por causa da orientação) e aparece um cisalhamento significativo
. Boa! Esses passos (calcular média, meia-diferença, usar
e
) resolvem praticamente qualquer problema 2D de transformação de tensões sem muita dor de cabeça.