Nos planos vertical e horizontal de um elemento de solo, atuam as tensões principais de 100 kPa e 300 kPa , respectivamente. Determinar:
c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 50 kPa e as respectivas tensões normais.

Passo 1

O enunciado dá (peguei estes valores do enunciado):
  • Tensão normal no plano vertical: \,100\\ \text{kPa}\,.
  • Tensão normal no plano horizontal: \,300\\ \text{kPa}\,.
    O que se pede (claramente): encontrar os planos onde a tensão de cisalhamento tem valor \,50\\ \text{kPa}\, (interpreto como magnitude igual a 50\\ \text{kPa}) e determinar as respectivas tensões normais nesses planos.
    Defino convenção de ângulo para a resolução: \theta é o ângulo entre a normal ao plano considerado e o eixo horizontal (onde atua \,300\\ \text{kPa}\,); medições em graus.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática, sem pânico):
Quando só há tensões normais diferentes em duas direções principais e não há cisalhamento inicial nas direções dadas (caso aqui: planos vertical/horizontal são planos principais, ou seja, cisalhamento inicial neles é zero), o estado de tensões no plano arbitrário definido por \theta é dado por transformações de plano (ou pela construção do círculo de Mohr). As fórmulas úteis são:
\sigma_{\text{m}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, \qquad R=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2},
\sigma_n=\sigma_{\text{m}}+R\cos(2\theta), \qquad \tau_n=-\,R\sin(2\theta).
Explicando cada símbolo:
  • \sigma_x é a tensão normal na direção horizontal (aqui \sigma_x=300\\ \text{kPa}).
  • \sigma_y é a tensão normal na direção vertical (aqui \sigma_y=100\\ \text{kPa}).
  • \sigma_{\text{m}} é a tensão média (meio entre as duas normais).
  • R é o “raio” do círculo de Mohr (metade da diferença), que também é o máximo valor de cisalhamento possível.
  • \sigma_n é a tensão normal no plano cujo ângulo de normal é \theta.
  • \tau_n é a tensão de cisalhamento nesse plano (sinal conforme a fórmula).
    Vamos usar essas fórmulas para achar \theta tais que |\tau_n|=50\\ \text{kPa} e então calcular \sigma_n.

Passo 3

Calcular \sigma_{\text{m}} e R com os valores dados:
\sigma_{\text{m}}=\frac{300+100}{2}=200\\ \text{kPa}, \qquad R=\frac{300-100}{2}=100\\ \text{kPa}.
A condição |\tau_n|=50\\ \text{kPa}
|\tau_n| = R\,|\sin(2\theta)| = 50 \quad\Rightarrow\quad |\sin(2\theta)|=\frac{50}{100}=0{,}5.
Soluções para 2\theta (em graus) com |\sin| igual a 0{,}5 são
2\theta=30^\circ,\;150^\circ,\;210^\circ,\;330^\circ.
Logo os ângulos \theta (tomando soluções no intervalo 0^\circ a 180^\circ) são
\theta=15^\circ,\;75^\circ,\;105^\circ,\;165^\circ.
Observação rápida: há quatro planos (no intervalo 0^\circ 180^\circ) onde a magnitude do cisalhamento é 50\\ \text{kPa}. Dois deles terão \tau_n=+50\\ \text{kPa} e dois terão \tau_n=-50\\ \text{kPa}; vamos identificar isso logo em seguida.

Passo 4

Calcular \sigma_n e o sinal de \tau_n para cada \theta. Usamos
\sigma_n=\sigma_{\text{m}}+R\cos(2\theta), \qquad \tau_n=-R\sin(2\theta).
  1. \theta=15^\circ. Então 2\theta=30^\circ.
\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254, \quad \sin(30^\circ)=0{,}5.
\sigma_n=200+100\cdot0{,}8660254\approx200+86{,}60254=286{,}60254\\ \text{kPa}\approx286{,}6\\ \text{kPa},
\tau_n=-100\cdot0{,}5=-50\\ \text{kPa}.
  1. \theta=75^\circ. Então 2\theta=150^\circ.
\cos(150^\circ)=-0{,}8660254,\quad \sin(150^\circ)=0{,}5.
\sigma_n=200+100\cdot(-0{,}8660254)\approx200-86{,}60254=113{,}39746\\ \text{kPa}\approx113{,}4\\ \text{kPa},
\tau_n=-100\cdot0{,}5=-50\\ \text{kPa}.
  1. \theta=105^\circ. Então 2\theta=210^\circ.
\cos(210^\circ)=-0{,}8660254,\quad \sin(210^\circ)=-0{,}5.
\sigma_n=200+100\cdot(-0{,}8660254)\approx113{,}4\\ \text{kPa},
\tau_n=-100\cdot(-0{,}5)=+50\\ \text{kPa}.
  1. \theta=165^\circ. Então 2\theta=330^\circ.
\cos(330^\circ)=0{,}8660254,\quad \sin(330^\circ)=-0{,}5.
\sigma_n=200+100\cdot0{,}8660254\approx286{,}6\\ \text{kPa},
\tau_n=-100\cdot(-0{,}5)=+50\\ \text{kPa}.
Interpretação prática (sem mistério): os quatro planos listados têm magnitude de cisalhamento 50\\ \text{kPa}. Dois deles ( \theta=15^\circ e \theta=75^\circ) apresentam \tau_n=-50\\ \text{kPa} e dois ( \theta=105^\circ e \theta=165^\circ) apresentam \tau_n=+50\\ \text{kPa}. As tensões normais associadas são \approx286{,}6\\ \text{kPa} e \approx113{,}4\\ \text{kPa}, conforme calculado.

Resposta

Plano com normal \theta=15^\circ: \sigma_n\approx286{,}6\\ \text{kPa},\\ \tau_n=-50\\ \text{kPa}
Plano com normal \theta=75^\circ: \sigma_n\approx113{,}4\\ \text{kPa},\\ \tau_n=-50\\ \text{kPa}
Plano com normal \theta=105^\circ: \sigma_n\approx113{,}4\\ \text{kPa},\\ \tau_n=+50\\ \text{kPa}
Plano com normal \theta=165^\circ: \sigma_n\approx286{,}6\\ \text{kPa},\\ \tau_n=+50\\ \text{kPa}

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