Nos planos vertical e horizontal de um elemento de solo, atuam as tensões principais de 100 kPa e 300 kPa , respectivamente. Determinar:
c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 50 kPa e as respectivas tensões normais.
c) Os planos em que ocorre a tensão de cisalhamento de 50 kPa e as respectivas tensões normais.
Passo 1
O enunciado dá (peguei estes valores do enunciado):
- Tensão normal no plano vertical:
. - Tensão normal no plano horizontal:
.
O que se pede (claramente): encontrar os planos onde a tensão de cisalhamento tem valor(interpreto como magnitude igual a ) e determinar as respectivas tensões normais nesses planos.
Defino convenção de ângulo para a resolução:é o ângulo entre a normal ao plano considerado e o eixo horizontal (onde atua ); medições em graus.
Passo 2
Conceito e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática, sem pânico):
Quando só há tensões normais diferentes em duas direções principais e não há cisalhamento inicial nas direções dadas (caso aqui: planos vertical/horizontal são planos principais, ou seja, cisalhamento inicial neles é zero), o estado de tensões no plano arbitrário definido por é dado por transformações de plano (ou pela construção do círculo de Mohr). As fórmulas úteis são:
Quando só há tensões normais diferentes em duas direções principais e não há cisalhamento inicial nas direções dadas (caso aqui: planos vertical/horizontal são planos principais, ou seja, cisalhamento inicial neles é zero), o estado de tensões no plano arbitrário definido por
Explicando cada símbolo:
-
é a tensão normal na direção horizontal (aqui ). -
é a tensão normal na direção vertical (aqui ). -
é a tensão média (meio entre as duas normais). -
é o “raio” do círculo de Mohr (metade da diferença), que também é o máximo valor de cisalhamento possível. -
é a tensão normal no plano cujo ângulo de normal é . -
é a tensão de cisalhamento nesse plano (sinal conforme a fórmula).
Vamos usar essas fórmulas para achartais que e então calcular .
Passo 3
Calcular
e
com os valores dados:
A condição
dá
Soluções para
(em graus) com
igual a
são
Logo os ângulos
(tomando soluções no intervalo
a
) são
Observação rápida: há quatro planos (no intervalo
–
) onde a magnitude do cisalhamento é
. Dois deles terão
e dois terão
; vamos identificar isso logo em seguida.
Passo 4
Calcular
e o sinal de
para cada
. Usamos
-
. Então .
-
. Então .
-
. Então .
-
. Então .
Interpretação prática (sem mistério): os quatro planos listados têm magnitude de cisalhamento
. Dois deles (
e
) apresentam
e dois (
e
) apresentam
. As tensões normais associadas são
e
, conforme calculado.
Resposta
Plano com normal
:
Plano com normal :
Plano com normal :
Plano com normal :
Plano com normal
Plano com normal
Plano com normal