Para a planta
, projete um controlador da família PID que atenda aos seguintes requisitos para uma entrada do tipo degrau unitário (Valor 2,5).
a. Tempo de subida
;
b. Tempo de acomodação (na faixa de
)
;
c. Overshoot < 10%;
d. Erro de estado estacionário
.
a. Tempo de subida
b. Tempo de acomodação (na faixa de
c. Overshoot < 10%;
d. Erro de estado estacionário
Passo 1
O enunciado dá a planta
e pede que eu projete um controlador da família PID tal que, para uma entrada degrau de amplitude
,
- o tempo de subida
; - o tempo de acomodação (faixa de
) ; - o overshoot
; - o erro em regime permanente
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Planta
dada acima. - Especificações de desempenho em tempo contínuo (rise time, settling time, overshoot).
- Pedido explícito de controlador do tipo PID (logo devemos ter ação integral para garantir
). - A amplitude do degrau é
, mas para sistemas lineares a amplitude escala a saída; o projeto em malha (gains) não muda por causa da amplitude — o requisito de exige ação integral.
Passo 2
Escolha do método de projeto e justificativa (sem resolver ainda): vou projetar um PID por alocação de polos (pole–placement) usando a aproximação por pólos dominantes. Motivos e ideias principais (explicadas didaticamente):
- Um PID em série com a planta gera um polinômio característico de terceira ordem; escolhemos dois pólos dominantes complexos com amortecimento
e frequência natural que atendam overshoot, rise time e settling time; escolhemos um terceiro pólo real mais à esquerda (mais rápido) para não atrapalhar os pólos dominantes. - Para erro de regime nulo a um degrau precisamos de ação integradora (termos
no controlador). Um PID padrão tem exatamente isso: . - Vou usar fórmulas padrão que relacionam especificações temporais com
e : - Overshoot percentual (para resposta de segunda ordem subamortecida) é
- Tempo de acomodação (2%) é aproximado por
- Tempo de subida (0–100%) para o par de pólos complexos é dado pela primeira solução de
, o que leva à fórmula
- Plano: determinar um
que satisfaça o limite de overshoot, escolher que satisfaça (com folga), escolher um pólo real extra rápido e igualar coeficientes do polinômio característico do sistema em malha fechada para resolver .
Passo 3
Encontrar um valor mínimo de
a partir da restrição de overshoot
.
Usamos a fórmula do overshoot:
Tomando logaritmo e isolando
(passos):
Calculando numericamente
, obtemos a condição
Logo precisamos de
. Para margem de projeto (e para reduzir overshoot e melhorar robustez) escolho
Comentário amigável: escolhi
um pouco maior que o mínimo para termos folga em relação ao limite de
.
Passo 4
Determinar
a partir da restrição de tempo de acomodação
.
Usamos a aproximação
Substituindo
:
Escolho um
com uma pequena folga superior a esse limite; tomo
Verificações rápidas (numéricas) com
e
:
- Tempo de acomodação estimado:
- Agora calculo tempo de subida (0–100%):
Primeiro.
Então - Overshoot previsto:
Tudo dentro das especificações com folga.
Passo 5
Escolher o pólo real extra e construir o polinômio desejado de terceira ordem.
Raciocínio: a planta sem controlador é de ordem 2; com um PID (que introduz um integrador) o fecho de malha será de ordem 3. Quero os dois pólos dominantes com
,
e um pólo real extra à esquerda, rápido o suficiente para não interferir. Escolho para simplicidade o fator
(pólo em
), isto é, tomo
.
O polinômio desejado é
Substituindo números:
Passo 6
Encontrar a relação entre os ganhos do PID e os coeficientes do polinômio em malha fechada.
Escrevo o controlador PID na forma
Função em malha aberta
A equação característica
. Multiplicando por
obtemos o polinômio em malha fechada:
Expandindo:
Passo 7
Igualar coeficientes com o polinômio desejado
e resolver para
.
Igualando coeficientes:
Resolve-se diretamente:
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais) para implementação e leitura:
Passo 8
Escrevo o controlador final e verificações rápidas.
Controlador em forma racional:
Gains obtidos garantem:
- Ação integral presente
para degrau (sistema do tipo 1). - Pólos projetados: par dominante com
e (overshoot previsto , , ), ou seja, dentro das especificações.
Comentário prático: estes valores foram obtidos via alocação direta de polos (igualação de coeficientes). Em prática experimental/numérica às vezes é necessário ajustar levementepara compensar modelos não-lineares, saturações, atrasos de implementação ou ruídos. Mas para prova/avalição teórica este é um resultado válido e coerente.
Resposta
Overshoot previsto
Tempo de subida previsto
Tempo de acomodação (2%) previsto
Erro em regime permanente para degrau
Tempo de subida previsto
Tempo de acomodação (2%) previsto
Erro em regime permanente para degrau