Uma planta de galvanização metálica lança efluentes em um rio, elevando o custo de tratamento da estação pública de água. A demanda inversa por seus serviços é dada por
, o custo marginal privado é
, e o dano marginal externo é
.
(a) Determine a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado.
(b) Encontre a quantidade e o preço socialmente ótimos.
(c) Calcule o imposto pigouviano ótimo e interprete economicamente seu significado.
(d) Represente graficamente as áreas de perda de bem-estar.
(a) Determine a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado.
(b) Encontre a quantidade e o preço socialmente ótimos.
(c) Calcule o imposto pigouviano ótimo e interprete economicamente seu significado.
(d) Represente graficamente as áreas de perda de bem-estar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Demanda inversa:
. - Custo marginal privado (para a firma):
. - Dano marginal externo:
.
O enunciado pede:
(a) a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado;
(b) a quantidade e o preço socialmente ótimos;
(c) o imposto pigouviano ótimo e interpretação econômica;
(d) representar graficamente as áreas de perda de bem-estar (a seguir vou descrever claramente quais áreas seriam desenhadas e calcular o valor da perda).
(a) a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado;
(b) a quantidade e o preço socialmente ótimos;
(c) o imposto pigouviano ótimo e interpretação econômica;
(d) representar graficamente as áreas de perda de bem-estar (a seguir vou descrever claramente quais áreas seriam desenhadas e calcular o valor da perda).
Passo 2
Entendendo e calculando o equilíbrio competitivo (passo a passo e por que fazer assim).
Explicação didática breve:
- Em concorrência perfeita, as firmas produzem até o ponto em que o preço recebido pelos consumidores (que é a disposição a pagar marginal, a demanda inversa) é igual ao custo marginal privado da firma. Ou seja, o mercado compara benefício marginal (preço que compradores pagam) com custo marginal privado, porque a firma apenas considera seus custos privados.
- Matematicamente, equilibra-se
.
Montando a equação:
Resolvendo passo a passo:
- Passo algébrico 1: Isolar termos em
:
- Simplificando:
- Logo:
Agora o preço de mercado (substituir em
):
Valores numéricos aproximados (para ter uma ideia prática):
Passo 3
Entendendo e calculando a solução socialmente ótima (passo a passo e didática).
Explicação didática:
- A sociedade preocupa-se com o custo total de produzir uma unidade, isto é, com o custo marginal social. Quando existe um dano externo, o custo marginal social é a soma do custo marginal privado da firma mais o dano marginal imposto ao resto da sociedade.
- Em fórmulas:
. - O equilíbrio social maximiza bem-estar social, portanto iguala-se a disposição a pagar marginal (demanda) ao custo marginal social:
.
Calculemos a
:
Igualando demanda e custo social:
Resolvendo:
- Reorganizando,
Preço social (disposição a pagar no ponto ótimo):
Breve interpretação numérica:
- No equilíbrio do mercado privado houve excesso de produção (
) em relação ao ótimo social ( ), porque as firmas não pagam o dano que impõem ao resto da sociedade.
Passo 4
Cálculo e interpretação do imposto pigouviano ótimo.
Explicação didática do imposto pigouviano:
- A ideia do imposto pigouviano é fazer a firma internalizar o custo externo. Coloca-se um imposto por unidade
tal que a firma, ao considerar o imposto, enfrenta um custo marginal efetivo . Se escolhermos igual ao dano marginal no nível ótimo, então o mercado competitivo com imposto alcança o mesmo socialmente desejado. - Fórmula simples: o imposto ótimo satisfaça
.
Calcule o imposto:
Verificação (consistência com o equilíbrio com imposto):
- Com o imposto, a condição de equilíbrio de mercado é
. - Substituindo
:
o que coincide com
. Bom sinal: imposto internaliza externidade.
Preços relevantes:
- Preço pago pelo consumidor:
. - Preço recebido pela firma (líquido do imposto):
. - Note:
, consistência completa.
Interpretação econômica curta e amigável:
- O imposto pigouviano de
por unidade faz com que a firma enfrente o custo real (privado + imposto) igual ao custo social; assim a quantidade produzida cai do excesso privado para o nível que maximiza o bem-estar social. Em outras palavras: o imposto internaliza o dano — o poluidor “paga” pelo prejuízo que impõe — e, como consequência, elimina a perda de eficiência (deadweight loss) causada pela externalidade.
Passo 5
Cálculo da perda de bem-estar (deadweight loss) quando não há imposto — expressão e cálculo numérico.
Explicação didática do que é a perda de bem-estar:
- Quando o mercado produz mais do que o ótimo social (
), cada unidade adicional entre e gera mais custo social do que benefício privado. A perda total é a integral da diferença entre o custo marginal social e o benefício marginal (demanda) ao longo desse intervalo. - Como as funções são lineares, a área da perda é um triângulo cuja base é
e cuja altura é a diferença entre e em .
Cálculo passo a passo:
- Base:
- Altura (pode-se calcular avaliando
em , que também é igual a ; mostro a forma direta):
Primeiro calcule.
Avaliando em:
- Área do triângulo (DWL):
Valor numérico aproximado:
Comentário intuitivo:
- Esse triângulo representa o excesso de custo social sobre o benefício privado para as unidades produzidas além de
. Quando se aplica o imposto pigouviano , essa perda desaparece porque o mercado ajusta para .
Passo 6
Receita do imposto e observações práticas rápidas.
Cálculo da receita do imposto (útil para interpretação prática):
Observações:
- Parte ou toda essa receita pode ser usada pelo governo para mitigar o dano (por exemplo, pagar tratamento de água) ou reduzir outros impostos; isso altera a distribuição de bem-estar mas não o nível de eficiência (o imposto certo corrige o mercado).
- O imposto pigouviano não é necessariamente “uma multa”: é um preço pelo dano marginal que faz com que o poluidor escolha racionalmente o nível socialmente desejado.
Passo 7
Como representar graficamente as áreas de perda de bem-estar (instruções para desenhar o gráfico passo a passo).
Desenho recomendado (e o que sombrear):
- Eixos: vertical = preço/custos
, horizontal = quantidade . - Traçar a demanda
(linha descendente com intercepto em quando ). - Traçar a curva de custo marginal privado
(reta ascendente com intercepto ). - Traçar a curva de custo marginal social
(reta ascendente paralela, mais inclinada, intercepto em também mas com inclinação maior). - Marcar
onde demanda corta ; marcar . - Marcar
onde demanda corta ; marcar . - A perda de bem-estar (DWL) é o triângulo entre as curvas demanda e
no intervalo . Especificar vértices do triângulo: - No ponto
: as duas curvas se tocam (diferença zero). - No ponto
: a altura do triângulo é (conforme cálculo).
- No ponto
- Opcional: sombrear também a área que representa o dano externo total fazendo a diferença entre
e ao longo das quantidades, que é a integral de ; mas a DWL é especificamente o triângulo descrito no item 7.
Resposta
(a)
e
(b) e
(c) Imposto pigouviano ótimo (por unidade).
(d) Perda de bem-estar (DWL) na ausência do imposto:
(b)
(c) Imposto pigouviano ótimo
(d) Perda de bem-estar (DWL) na ausência do imposto: