Uma planta de galvanização metálica lança efluentes em um rio, elevando o custo de tratamento da estação pública de água. A demanda inversa por seus serviços é dada por P(Q)=120-2 Q, o custo marginal privado é C M g_{P}(Q)=20+Q, e o dano marginal externo é M D(Q)=Q.
(a) Determine a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado.
(b) Encontre a quantidade e o preço socialmente ótimos.
(c) Calcule o imposto pigouviano ótimo e interprete economicamente seu significado.
(d) Represente graficamente as áreas de perda de bem-estar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Demanda inversa: P(Q)=120-2Q.
  • Custo marginal privado (para a firma): \mathrm{CMg}_P(Q)=20+Q.
  • Dano marginal externo: MD(Q)=Q.
O enunciado pede:
(a) a quantidade de equilíbrio competitivo e o preço de mercado;
(b) a quantidade e o preço socialmente ótimos;
(c) o imposto pigouviano ótimo e interpretação econômica;
(d) representar graficamente as áreas de perda de bem-estar (a seguir vou descrever claramente quais áreas seriam desenhadas e calcular o valor da perda).

Passo 2

Entendendo e calculando o equilíbrio competitivo (passo a passo e por que fazer assim).
Explicação didática breve:
  • Em concorrência perfeita, as firmas produzem até o ponto em que o preço recebido pelos consumidores (que é a disposição a pagar marginal, a demanda inversa) é igual ao custo marginal privado da firma. Ou seja, o mercado compara benefício marginal (preço que compradores pagam) com custo marginal privado, porque a firma apenas considera seus custos privados.
  • Matematicamente, equilibra-se P(Q)=\mathrm{CMg}_P(Q).
Montando a equação:
120-2Q = 20 + Q.
Resolvendo passo a passo:
  • Passo algébrico 1: Isolar termos em Q:
120 - 20 = Q + 2Q.
  • Simplificando:
100 = 3Q.
  • Logo:
Q_{\text{mercado}} = \frac{100}{3}.
Agora o preço de mercado (substituir em P(Q)):
P_{\text{mercado}} = 120 - 2\cdot\frac{100}{3} = 120 - \frac{200}{3} = \frac{360-200}{3} = \frac{160}{3}.
Valores numéricos aproximados (para ter uma ideia prática):
Q_{\text{mercado}} \approx 33,33,\qquad P_{\text{mercado}} \approx 53,33.

Passo 3

Entendendo e calculando a solução socialmente ótima (passo a passo e didática).
Explicação didática:
  • A sociedade preocupa-se com o custo total de produzir uma unidade, isto é, com o custo marginal social. Quando existe um dano externo, o custo marginal social é a soma do custo marginal privado da firma mais o dano marginal imposto ao resto da sociedade.
  • Em fórmulas: \mathrm{CMg}_{\text{social}}(Q)=\mathrm{CMg}_P(Q)+MD(Q).
  • O equilíbrio social maximiza bem-estar social, portanto iguala-se a disposição a pagar marginal (demanda) ao custo marginal social: P(Q)=\mathrm{CMg}_{\text{social}}(Q).
Calculemos a \mathrm{CMg}_{\text{social}}:
\mathrm{CMg}_{\text{social}}(Q)= (20+Q) + Q = 20 + 2Q.
Igualando demanda e custo social:
120-2Q = 20 + 2Q.
Resolvendo:
  • Reorganizando,
120 - 20 = 2Q + 2Q,
100 = 4Q,
Q_{\text{social}} = 25.
Preço social (disposição a pagar no ponto ótimo):
P_{\text{social}} = 120 - 2\cdot 25 = 120 - 50 = 70.
Breve interpretação numérica:
  • No equilíbrio do mercado privado houve excesso de produção ( Q_{\text{mercado}} \approx 33{,}33) em relação ao ótimo social ( 25), porque as firmas não pagam o dano que impõem ao resto da sociedade.

Passo 4

Cálculo e interpretação do imposto pigouviano ótimo.
Explicação didática do imposto pigouviano:
  • A ideia do imposto pigouviano é fazer a firma internalizar o custo externo. Coloca-se um imposto por unidade t tal que a firma, ao considerar o imposto, enfrenta um custo marginal efetivo \mathrm{CMg}_P(Q)+t. Se escolhermos t igual ao dano marginal no nível ótimo, então o mercado competitivo com imposto alcança o mesmo Q socialmente desejado.
  • Fórmula simples: o imposto ótimo satisfaça t^* = MD(Q_{\text{social}}).
Calcule o imposto:
t^* = MD(Q_{\text{social}}) = MD(25) = 25.
Verificação (consistência com o equilíbrio com imposto):
  • Com o imposto, a condição de equilíbrio de mercado é P(Q) = \mathrm{CMg}_P(Q) + t^*.
  • Substituindo t^*=25:
120 - 2Q = 20 + Q + 25 \quad\Rightarrow\quad 120 - 2Q = 45 + Q,
75 = 3Q \quad\Rightarrow\quad Q=25,
o que coincide com Q_{\text{social}}. Bom sinal: imposto internaliza externidade.
Preços relevantes:
  • Preço pago pelo consumidor: P_{\text{cons}} = P_{\text{social}} = 70.
  • Preço recebido pela firma (líquido do imposto): P_{\text{firm}} = P_{\text{cons}} - t^* = 70 - 25 = 45.
  • Note: P_{\text{firm}} = \mathrm{CMg}_P(25) = 20 + 25 = 45, consistência completa.
Interpretação econômica curta e amigável:
  • O imposto pigouviano de 25 por unidade faz com que a firma enfrente o custo real (privado + imposto) igual ao custo social; assim a quantidade produzida cai do excesso privado para o nível que maximiza o bem-estar social. Em outras palavras: o imposto internaliza o dano — o poluidor “paga” pelo prejuízo que impõe — e, como consequência, elimina a perda de eficiência (deadweight loss) causada pela externalidade.

Passo 5

Cálculo da perda de bem-estar (deadweight loss) quando não há imposto — expressão e cálculo numérico.
Explicação didática do que é a perda de bem-estar:
  • Quando o mercado produz mais do que o ótimo social ( Q_{\text{mercado}}>Q_{\text{social}}), cada unidade adicional entre Q_{\text{social}} e Q_{\text{mercado}} gera mais custo social do que benefício privado. A perda total é a integral da diferença entre o custo marginal social e o benefício marginal (demanda) ao longo desse intervalo.
  • Como as funções são lineares, a área da perda é um triângulo cuja base é \Delta Q = Q_{\text{mercado}}-Q_{\text{social}} e cuja altura é a diferença entre \mathrm{CMg}_{\text{social}} e P em Q_{\text{mercado}}.
Cálculo passo a passo:
  • Base:
\Delta Q = \frac{100}{3} - 25 = \frac{100-75}{3} = \frac{25}{3}.
  • Altura (pode-se calcular avaliando \mathrm{CMg}_{\text{social}} - P em Q_{\text{mercado}}, que também é igual a 4(Q_{\text{mercado}}-25); mostro a forma direta):
    Primeiro calcule \mathrm{CMg}_{\text{social}}(Q) - P(Q) = (20+2Q) - (120-2Q) = 4Q -100.
    Avaliando em Q_{\text{mercado}}=\frac{100}{3}:
\text{altura} = 4\cdot\frac{100}{3} - 100 = \frac{400-300}{3} = \frac{100}{3}.
  • Área do triângulo (DWL):
\text{DWL} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura} = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\frac{100}{3} = \frac{1250}{9}.
Valor numérico aproximado:
\text{DWL} = \frac{1250}{9} \approx 138{,}89.
Comentário intuitivo:
  • Esse triângulo representa o excesso de custo social sobre o benefício privado para as unidades produzidas além de Q_{\text{social}}. Quando se aplica o imposto pigouviano t^*=25, essa perda desaparece porque o mercado ajusta para Q=25.

Passo 6

Receita do imposto e observações práticas rápidas.
Cálculo da receita do imposto (útil para interpretação prática):
\text{Receita} = t^* \cdot Q_{\text{social}} = 25 \cdot 25 = 625.
Observações:
  • Parte ou toda essa receita pode ser usada pelo governo para mitigar o dano (por exemplo, pagar tratamento de água) ou reduzir outros impostos; isso altera a distribuição de bem-estar mas não o nível de eficiência (o imposto certo corrige o mercado).
  • O imposto pigouviano não é necessariamente “uma multa”: é um preço pelo dano marginal que faz com que o poluidor escolha racionalmente o nível socialmente desejado.

Passo 7

Como representar graficamente as áreas de perda de bem-estar (instruções para desenhar o gráfico passo a passo).
Desenho recomendado (e o que sombrear):
  1. Eixos: vertical = preço/custos P, horizontal = quantidade Q.
  2. Traçar a demanda P(Q)=120-2Q (linha descendente com intercepto em P=120 quando Q=0).
  3. Traçar a curva de custo marginal privado \mathrm{CMg}_P(Q)=20+Q (reta ascendente com intercepto 20).
  4. Traçar a curva de custo marginal social \mathrm{CMg}_{\text{social}}(Q)=20+2Q (reta ascendente paralela, mais inclinada, intercepto em 20 também mas com inclinação maior).
  5. Marcar Q_{\text{mercado}}=\frac{100}{3} onde demanda corta \mathrm{CMg}_P; marcar P_{\text{mercado}}=\frac{160}{3}.
  6. Marcar Q_{\text{social}}=25 onde demanda corta \mathrm{CMg}_{\text{social}}; marcar P_{\text{social}}=70.
  7. A perda de bem-estar (DWL) é o triângulo entre as curvas demanda e \mathrm{CMg}_{\text{social}} no intervalo Q\in[25,\frac{100}{3}]. Especificar vértices do triângulo:
    • No ponto Q=25: as duas curvas se tocam (diferença zero).
    • No ponto Q=\frac{100}{3}: a altura do triângulo é \frac{100}{3} (conforme cálculo).
  8. Opcional: sombrear também a área que representa o dano externo total fazendo a diferença entre \mathrm{CMg}_{\text{social}} e \mathrm{CMg}_P ao longo das quantidades, que é a integral de MD(Q); mas a DWL é especificamente o triângulo descrito no item 7.

Resposta

(a) Q_{\text{mercado}}=\dfrac{100}{3} e P_{\text{mercado}}=\dfrac{160}{3}.
(b) Q_{\text{social}}=25 e P_{\text{social}}=70.
(c) Imposto pigouviano ótimo t^*=25 (por unidade).
(d) Perda de bem-estar (DWL) na ausência do imposto: \dfrac{1250}{9}\approx138{,}89.

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