Considere uma equipe de engenheiros civis que compartilha um software de simulação estrutural. Cada membro i possui valor privado v_{i} para o acesso.
(a) Proponha um mecanismo de leilão de Clarke para decidir se o software será adquirido (custo C=120 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem que eu proponha um mecanismo do tipo leilão de Clarke (mecanismo de pivot/VCG) para decidir se o software será adquirido.
  • Informação numérica fornecida: o custo do software é C=120.
  • Cada membro i tem um valor privado (utilidade) v_i pelo acesso ao software. Esses v_i são privados e devem ser reportados como lances b_i no mecanismo.
Resumo do pedido em uma frase: definir a regra de decisão (comprar ou não) e as regras de pagamento (quanto cada agente paga) seguindo o princípio do leilão de Clarke, usando C=120.

Passo 2

Ideia geral do mecanismo de Clarke (explicada devagar, sem pular etapas)
  • Objetivo: escolher a alternativa que maximiza o bem-estar social agregado. Como há custo fixo C para comprar o software, a alternativa “comprar” tem valor social agregado igual à soma das valuations menos o custo. A alternativa “não comprar” tem valor agregado zero.
  • Notação que vamos usar:
    • n = número de membros (engenheiros).
    • Cada agente relata um lance b_i (idealmente b_i=v_i).
    • Denotamos a soma dos lances por \sum_{i} b_i.
    • A decisão é binária: d=1 (comprar) ou d=0 (não comprar).
Regra eficiente (princípio): comprar se a soma das avaliações declaradas for pelo menos o custo; matematicamente:
\text{decisão } d^\ast = \begin{cases} 1 & \text{se } \displaystyle\sum_{i} b_i \ge C,\\[4pt] 0 & \text{se } \displaystyle\sum_{i} b_i < C. \end{cases}ã
Explicação simples: se o benefício agregado declarado cobre o custo, faz sentido comprar; caso contrário, não comprar.]

Passo 3

O que é a “taxa de Clarke” (intuição e definição)
  • Na ideia do mecanismo de Clarke, cada agente paga o impacto (externalidade) que sua presença causa sobre os outros. Ou seja, quanto a presença/declaração do agente mudou o bem-estar dos demais.
  • Formalmente, para cada agente i definimos o pagamento p_i como a diferença entre (i) o máximo de bem-estar que os outros poderiam obter sem i e (ii) o bem-estar que os outros efetivamente obtêm com a decisão d^\ast quando i participa. Essa é a “regra pivot” (ou pagamento de Clarke).
  • Para o caso binário (comprar/não comprar) com custo C isso se traduz numa fórmula simples que vamos derivar no próximo passo.

Passo 4

Derivação explícita e passo a passo da fórmula do pagamento para o caso binário
  • Considere a soma dos lances dos outros agentes: \displaystyle S_{-i}=\sum_{j\ne i} b_j.
  • Com os n agentes presentes a decisão é d^\ast=1 se \sum_i b_i = S_{-i}+b_i \ge C, caso contrário d^\ast=0.
Agora calculamos o pagamento p_i pela regra de Clarke (externalidade):
  1. Calcular o melhor que os outros podem conseguir se i não existisse. Sem i, os possíveis resultados são:
    • comprar: o valor agregado para os outros seria S_{-i}-C, porque devem pagar o custo C; mas ao comparar alternativas para decidir, o mecanismo escolhe comprar sem i apenas se S_{-i}\ge C.
    • não comprar: valor agregado 0.
      Portanto o máximo do bem-estar dos outros sem i é
    H_i=\max\{\,S_{-i}-C,\;0\,\}.
    (Se S_{-i}\ge C, os outros comprariam sozinhos e obtêm S_{-i}-C; caso contrário, ficam com 0.)
  2. Calcular o bem-estar dos outros com a decisão d^\ast (com i presente):
    • Se d^\ast=1 (comprou), o bem-estar dos outros é S_{-i}-C.
    • Se d^\ast=0 (não comprou), o bem-estar dos outros é 0.
  3. O pagamento p_i é a diferença
    p_i = H_i - \big(\text{bem-estar dos outros com } d^\ast\big).
    Vamos analisar os casos:
  • Caso A: \displaystyle\sum_i b_i < C (decisão: não comprar). Então d^\ast=0. Temos:
    H_i=\max\{S_{-i}-C,0\}.
    Mas porque \sum_i b_i = S_{-i}+b_i < C sabemos que S_{-i} < C - b_i \le C, então S_{-i}-C <0 e H_i=0. O bem-estar dos outros com d^\ast é 0. Assim
    p_i = 0-0 = 0.
    Conclusão: se o mecanismo decide não comprar, todo mundo paga 0.
  • Caso B: \displaystyle\sum_i b_i \ge C (decisão: comprar). Então d^\ast=1. Calculamos:
    H_i=\max\{S_{-i}-C,0\}.
    O bem-estar dos outros com d^\ast é S_{-i}-C. Logo
    p_i = \max\{S_{-i}-C,0\} - (S_{-i}-C).
    Isso simplifica facilmente:
    • Se S_{-i}\ge C, então \max\{S_{-i}-C,0\}=S_{-i}-C e assim p_i=0.
    • Se S_{-i}<C, então \max\{S_{-i}-C,0\}=0 e assim p_i = 0 - (S_{-i}-C) = C - S_{-i}.
Portanto a fórmula compacta é
p_i = \begin{cases} 0 & \text{se } \displaystyle\sum_{j} b_j < C,\\[4pt] \displaystyle\max\{0,\,C - \sum_{j\ne i} b_j\} & \text{se } \displaystyle\sum_{j} b_j \ge C. \end{cases}
Ou, dizendo de forma mais direta (mesma coisa):
\boxed{\,p_i = \begin{cases} 0 & \text{se } \displaystyle\sum_{j} b_j < C,\\[4pt] C - \displaystyle\sum_{j\ne i} b_j & \text{se } \displaystyle\sum_{j} b_j \ge C \text{ e } \displaystyle\sum_{j\ne i} b_j < C,\\[4pt] 0 & \text{se } \displaystyle\sum_{j\ne i} b_j \ge C. \end{cases}\,}
Em palavras: quando o projeto é decidido a favor, somente os agentes “pivô” — isto é, aqueles cuja presença muda a decisão de não comprar para comprar — pagam; o pagamento é exatamente a quantidade que faltava entre o custo e o total declarado pelos outros.]

Passo 5

Interpretando e simplificando a regra (forma operacional que você aplicaria na prova)
Mecanismo completo (passo-a-passo que o examinador espera que você descreva e aplique):
  1. Peça a cada agente um lance b_i (reportando seu v_i).
  2. Compute \displaystyle S=\sum_i b_i.
  3. Decisão:
    • Se \displaystyle S < C, decida “não comprar” e cobre p_i=0 de todo mundo.
    • Se \displaystyle S \ge C, decida “comprar”. Para cada agente i calcule S_{-i}=\sum_{j\ne i} b_j.
      • Se S_{-i}\ge C então p_i=0.
      • Se S_{-i}<C então p_i = C - S_{-i}.
Essencialmente, um agente paga apenas se for decisivo para que a compra ocorra; nesse caso paga exatamente o “que faltou” dos outros para cobrir o custo.

Passo 6

Propriedades importantes (curtas, para entender por que usar isso na prova)
  • Verdadeiro-dominância (estratégia dominante): declarar b_i=v_i honestamente é uma estratégia dominante para cada agente no mecanismo de Clarke. Intuição: um agente só pode afetar a decisão quando é pivô; e quando é pivô paga exatamente o que a sua presença permitiu — não há vantagem em mentir. (Em provas, basta esboçar a ideia ou raciocinar pelos três casos: comprar independentemente, não comprar independentemente, e caso pivô.)
  • Eficiência: a decisão maximiza o bem-estar social declarado (compra se e só se \sum v_i \ge C).
  • Não é, em geral, balanceado (pode haver déficit ou excedente): as somas de p_i nem sempre igualam C. Assim o mecanismo pode não cobrir todo o custo ou pode arrecadar um excedente; isso é uma limitação conhecida do mecanismo de Clarke para bens públicos.

Passo 7

Exemplo numérico rápido com C=120 (para fixar)
Suponha três engenheiros e que eles declarem b_1=50, b_2=40, b_3=40. Então \sum_i b_i = 130 \ge 120, logo decide-se comprar.
  • Para i=1: S_{-1}=40+40=80<120, então p_1 = 120-80 = 40.
  • Para i=2: S_{-2}=50+40=90<120, então p_2 = 120-90 = 30.
  • Para i=3: S_{-3}=50+40=90<120, então p_3 = 120-90 = 30.
Pagamentos somam 40+30+30=100: há um déficit de 20 em relação ao custo C. Isso ilustra que o mecanismo pode não ser budget-balanced (a instituição que administra pode precisar completar o custo ou aceitar o déficit).

Passo 8

Conclusão final — o mecanismo proposto (resumo curto e pronto para a prova)
  • Regra de decisão: comprar iff \displaystyle\sum_i b_i \ge C com C=120.
  • Regra de pagamento (Clarke/pivot): para cada agente i,
p_i = \begin{cases} 0, & \text{se } \displaystyle\sum_i b_i < C,\\[6pt] \displaystyle\max\{0,\,C - \sum_{j\ne i} b_j\}, & \text{se } \displaystyle\sum_i b_i \ge C. \end{cases}]

Resposta

Decidir comprar se e só se \displaystyle\sum_i b_i \ge 120. Para cada agente i cobrar
p_i = \begin{cases} 0, & \text{se } \displaystyle\sum_i b_i < 120,\\[6pt] \displaystyle\max\{0,\,120 - \sum_{j\ne i} b_j\}, & \text{se } \displaystyle\sum_i b_i \ge 120. \end{cases}]

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