Considere uma equipe de engenheiros civis que compartilha um software de simulação estrutural. Cada membro i possui valor privado v_{i} para o acesso.
(a) Proponha um mecanismo de leilão de Clarke para decidir se o software será adquirido (custo C=120 ).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pedem que eu proponha um mecanismo do tipo leilão de Clarke (mecanismo de pivot/VCG) para decidir se o software será adquirido.
Informação numérica fornecida: o custo do software é C=120.
Cada membro i tem um valor privado (utilidade) v_i pelo acesso ao software. Esses v_i são privados e devem ser reportados como lances b_i no mecanismo.
Resumo do pedido em uma frase: definir a regra de decisão (comprar ou não) e as regras de pagamento (quanto cada agente paga) seguindo o princípio do leilão de Clarke, usando C=120.
Passo 2
Ideia geral do mecanismo de Clarke (explicada devagar, sem pular etapas)
Objetivo: escolher a alternativa que maximiza o bem-estar social agregado. Como há custo fixo C para comprar o software, a alternativa “comprar” tem valor social agregado igual à soma das valuations menos o custo. A alternativa “não comprar” tem valor agregado zero.
Notação que vamos usar:
n = número de membros (engenheiros).
Cada agente relata um lance b_i (idealmente b_i=v_i).
Denotamos a soma dos lances por \sum_{i} b_i.
A decisão é binária: d=1 (comprar) ou d=0 (não comprar).
Regra eficiente (princípio): comprar se a soma das avaliações declaradas for pelo menos o custo; matematicamente:
Explicação simples: se o benefício agregado declarado cobre o custo, faz sentido comprar; caso contrário, não comprar.]
Passo 3
O que é a “taxa de Clarke” (intuição e definição)
Na ideia do mecanismo de Clarke, cada agente paga o impacto (externalidade) que sua presença causa sobre os outros. Ou seja, quanto a presença/declaração do agente mudou o bem-estar dos demais.
Formalmente, para cada agente i definimos o pagamento p_i como a diferença entre (i) o máximo de bem-estar que os outros poderiam obter sem i e (ii) o bem-estar que os outros efetivamente obtêm com a decisão d^\ast quando i participa. Essa é a “regra pivot” (ou pagamento de Clarke).
Para o caso binário (comprar/não comprar) com custo C isso se traduz numa fórmula simples que vamos derivar no próximo passo.
Passo 4
Derivação explícita e passo a passo da fórmula do pagamento para o caso binário
Considere a soma dos lances dos outros agentes: \displaystyle S_{-i}=\sum_{j\ne i} b_j.
Com os n agentes presentes a decisão é d^\ast=1 se \sum_i b_i = S_{-i}+b_i \ge C, caso contrário d^\ast=0.
Agora calculamos o pagamento p_i pela regra de Clarke (externalidade):
Calcular o melhor que os outros podem conseguir se i não existisse. Sem i, os possíveis resultados são:
comprar: o valor agregado para os outros seria S_{-i}-C, porque devem pagar o custo C; mas ao comparar alternativas para decidir, o mecanismo escolhe comprar sem i apenas se S_{-i}\ge C.
não comprar: valor agregado 0.
Portanto o máximo do bem-estar dos outros sem i é
H_i=\max\{\,S_{-i}-C,\;0\,\}.
(Se S_{-i}\ge C, os outros comprariam sozinhos e obtêm S_{-i}-C; caso contrário, ficam com 0.)
Calcular o bem-estar dos outros com a decisão d^\ast (com i presente):
Se d^\ast=1 (comprou), o bem-estar dos outros é S_{-i}-C.
Se d^\ast=0 (não comprou), o bem-estar dos outros é 0.
O pagamento p_i é a diferença
p_i = H_i - \big(\text{bem-estar dos outros com } d^\ast\big).
Vamos analisar os casos:
Caso A: \displaystyle\sum_i b_i < C (decisão: não comprar). Então d^\ast=0. Temos:
H_i=\max\{S_{-i}-C,0\}.
Mas porque \sum_i b_i = S_{-i}+b_i < C sabemos que S_{-i} < C - b_i \le C, então S_{-i}-C <0 e H_i=0. O bem-estar dos outros com d^\ast é 0. Assim
p_i = 0-0 = 0.
Conclusão: se o mecanismo decide não comprar, todo mundo paga 0.
Caso B: \displaystyle\sum_i b_i \ge C (decisão: comprar). Então d^\ast=1. Calculamos:
H_i=\max\{S_{-i}-C,0\}.
O bem-estar dos outros com d^\ast é S_{-i}-C. Logo
p_i = \max\{S_{-i}-C,0\} - (S_{-i}-C).
Isso simplifica facilmente:
Se S_{-i}\ge C, então \max\{S_{-i}-C,0\}=S_{-i}-C e assim p_i=0.
Se S_{-i}<C, então \max\{S_{-i}-C,0\}=0 e assim p_i = 0 - (S_{-i}-C) = C - S_{-i}.
Em palavras: quando o projeto é decidido a favor, somente os agentes “pivô” — isto é, aqueles cuja presença muda a decisão de não comprar para comprar — pagam; o pagamento é exatamente a quantidade que faltava entre o custo e o total declarado pelos outros.]
Passo 5
Interpretando e simplificando a regra (forma operacional que você aplicaria na prova)
Mecanismo completo (passo-a-passo que o examinador espera que você descreva e aplique):
Peça a cada agente um lance b_i (reportando seu v_i).
Compute \displaystyle S=\sum_i b_i.
Decisão:
Se \displaystyle S < C, decida “não comprar” e cobre p_i=0 de todo mundo.
Se \displaystyle S \ge C, decida “comprar”. Para cada agente i calcule S_{-i}=\sum_{j\ne i} b_j.
Se S_{-i}\ge C então p_i=0.
Se S_{-i}<C então p_i = C - S_{-i}.
Essencialmente, um agente paga apenas se for decisivo para que a compra ocorra; nesse caso paga exatamente o “que faltou” dos outros para cobrir o custo.
Passo 6
Propriedades importantes (curtas, para entender por que usar isso na prova)
Verdadeiro-dominância (estratégia dominante): declarar b_i=v_i honestamente é uma estratégia dominante para cada agente no mecanismo de Clarke. Intuição: um agente só pode afetar a decisão quando é pivô; e quando é pivô paga exatamente o que a sua presença permitiu — não há vantagem em mentir. (Em provas, basta esboçar a ideia ou raciocinar pelos três casos: comprar independentemente, não comprar independentemente, e caso pivô.)
Eficiência: a decisão maximiza o bem-estar social declarado (compra se e só se \sum v_i \ge C).
Não é, em geral, balanceado (pode haver déficit ou excedente): as somas de p_i nem sempre igualam C. Assim o mecanismo pode não cobrir todo o custo ou pode arrecadar um excedente; isso é uma limitação conhecida do mecanismo de Clarke para bens públicos.
Passo 7
Exemplo numérico rápido com C=120 (para fixar)
Suponha três engenheiros e que eles declarem b_1=50, b_2=40, b_3=40. Então \sum_i b_i = 130 \ge 120, logo decide-se comprar.
Para i=1: S_{-1}=40+40=80<120, então p_1 = 120-80 = 40.
Para i=2: S_{-2}=50+40=90<120, então p_2 = 120-90 = 30.
Para i=3: S_{-3}=50+40=90<120, então p_3 = 120-90 = 30.
Pagamentos somam 40+30+30=100: há um déficit de 20 em relação ao custo C. Isso ilustra que o mecanismo pode não ser budget-balanced (a instituição que administra pode precisar completar o custo ou aceitar o déficit).
Passo 8
Conclusão final — o mecanismo proposto (resumo curto e pronto para a prova)
Regra de decisão: comprar iff \displaystyle\sum_i b_i \ge C com C=120.
Regra de pagamento (Clarke/pivot): para cada agente i,