3-4) Plot the point whose polar coordinates are given. Then find the Cartesian coordinates of the point.
(-2,3 pi / 4)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas polares (r,theta)=(-2,tfrac3pi4) e pede para localizar esse ponto no plano e depois converter para coordenadas cartesianas (x,y). O conteúdo necessário é entender como funciona uma coordenada polar com raio negativo e usar as fórmulas
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

Para plotar um ponto com r<0, a gente “vira” a direção em theta adicionando pi. Logo o ponto (-2,tfrac3pi4) fica na mesma reta de ângulo
phi = theta + pi = 3pi4 + pi = 7pi4,
a uma distância de 2 unidades da origem. Esse ângulo tfrac7pi4 corresponde ao quarto quadrante, apontando para baixo à direita.

Passo 3

Agora aplicamos as fórmulas de conversão usando os valores originais de r e theta:
x = rcostheta = -2cos!l(tfrac3pi4r), y = rsintheta = -2sin!l(tfrac3pi4r)
Sabendo que cos(tfrac3pi4)=-tfracraiz22 e sin(tfrac3pi4)=+tfracraiz22, vem
x = -2l(-tfracraiz22r) = raiz2, y = -2l(tfracraiz22r) = -raiz2

Resposta

(x,y) = l(raiz2,,-raiz2r)

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