Considere um poço quadrado de largura a e profundidade V_{0}. Estude o estado ligado quando a \rightarrow 0.
(a) Mostre que existe apenas um estado ligado e que sua energia se comporta como
E \sim-\frac{m V_{0}^{2} a^{2}}{2 \hbar^{2}}
(b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço tende a 1.
(c) Explique como esse resultado se conecta com o potencial delta do exercício 2.
Passo 1
O enunciado dá um poço quadrado unidimensional de largura a\) e profundidade \(V_{0}\) (assumir potencial simétrico em torno de \(x=0\), isto é
\[V(x)=\begin{cases} -V_{0}, & |x|<\dfrac{a}{2},\\[4pt] 0, & |x|>\dfrac{a}{2}, \end{cases}
) e pede o comportamento do estado ligado quando a\to0\]. As perguntas são:
(a) mostrar que existe apenas um estado ligado e que sua energia se comporta como
\[E \sim -\dfrac{m V_{0}^{2} a^{2}}{2\hbar^{2}},\]
(b) mostrar que a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço tende a \(1 quando a\to0,
(c) explicar a conexão com o potencial delta do exercício 2.
Informações relevantes que usarei:
Estados ligados têm energia E<0.
A equação de Schrödinger estacionária em 1D e as condições de contorno (continuidade de \psi e \psi' em x=\pm a/2).
Para E<0 as soluções fora do poço são exponenciais decrescentes; dentro do poço são combinações de senos/cossenos.]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger e as formas gerais das soluções nas três regiões. A equação de Schrödinger independente do tempo é
(escolhi a forma simétrica decrescente, já que estado ligado mais baixo é par).
Região |x|<a/2 (dentro do poço), onde V=-V_{0}:
\psi_{\text{in}}(x)=C\cos(kx)+D\sin(kx).
Como o potencial é par (simétrico), os estados podem ser separados em par e ímpar. O estado ligado mais baixo é par, então tomo \psi par e ponho D=0. Assim dentro:
\psi_{\text{in}}(x)=C\cos(kx).
Passo 3
Aplicar as condições de contorno (continuidade de \psi e \psi') em x=a/2 para a solução par. Em x=a/2:
continuidade de \psi:
A e^{-\kappa a/2}=C\cos\!\bigl(k a/2\bigr).
continuidade de \psi' (derivadas, lembrando a derivada de e^{-\kappa|x|} para x>0 é -\kappa A e^{-\kappa x}):
-\kappa A e^{-\kappa a/2} = -C k \sin\!\bigl(k a/2\bigr).
Dividindo a segunda pela primeira (para eliminar A e^{-\kappa a/2} e C) obtém-se a condição de quantização para o estado par:
k\tan\!\bigl(k a/2\bigr)=\kappa.
Esta equação relaciona k e \kappa e por consequência determina E.
Passo 4
Expressar \kappa em termos da energia e aproximar para a\to0. Temos
Mostrar que existe apenas um estado ligado quando a\to0. Considero a possível solução ímpar (paridade ímpar). Para a solução ímpar \psi_{\text{in}}(x)=D\sin(kx) e as condições levam à equação
\kappa = k\cot\!\bigl(k a/2\bigr).
Para a\to0 temos k a/2\to0 e \cot x\approx 1/x, então o lado direito comporta-se como
que diverge quando a\to0. Mas \kappa que encontramos na parte anterior é pequeno, de ordem mV_{0}a/\hbar^{2} (que tende a zero). Assim não há solução ímpar consistente no limite a\to0. Logo o único estado ligado remanescente é o estado par que acabamos de calcular. Conclusão: existe apenas um estado ligado no limite a\to0.
Passo 7
Calcular a probabilidade de estar fora do poço e mostrar que tende a 1. Para a forma aproximada do estado ligado no limite a\to0 a parte externa domina e tem a forma (para x>0):
\psi(x)\approx A e^{-\kappa x}.
Normalizando totalmente (considerando paridade e extensão infinita) exige
que coincide com a expressão obtida no Passo 5. Além disso, o potencial delta admite exatamente um estado ligado (para qualquer \alpha>0), e a largura característica do estado ligado é 1/\kappa com \kappa = m\alpha/\hbar^{2}. No nosso caso \alpha=V_{0}a pequeno quando a\to0, então \kappa\to0 e a função de onda fica muito espalhada — consistindo com a probabilidade majoritariamente fora do poço.
Portanto a conexão é: o poço quadrado estreito aproxima-se (em primeira ordem) de um potencial delta de força \alpha=V_{0}a; a energia e o perfil do estado ligado coincidem com os do delta para esse \alpha, e como o delta tem exatamente um estado ligado, o poço estreito também tem apenas um que sobrevive no limite.
Resposta
(a) Existe apenas um estado ligado no limite a\to0 e
E \sim -\dfrac{mV_{0}^{2}a^{2}}{2\hbar^{2}}.
(b) A probabilidade de encontrar a partícula fora do poço tende a 1. Mais precisamente P_{\text{in}}\approx \dfrac{mV_{0}a^{2}}{\hbar^{2}}\to0, logo P_{\text{out}}\to1.
(c) No limite a\to0 o poço quadrado tende a um potencial delta com força \alpha=V_{0}a; o estado ligado resultante tem energia E_{\delta}=-\dfrac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}=-\dfrac{mV_{0}^{2}a^{2}}{2\hbar^{2}}, coincidindo com o resultado do item (a).