Estude o movimento do centro de um pacote de ondas. No caso de reflexão total, interprete fisicamente o deslocamento lateral do pacote após a reflexão.
Mostre que, quando V_{0} \rightarrow+\infty, a trajetória quântica torna-se assintótica à trajetória clássica.
Passo 1
O enunciado dá uma parede de potencial vertical em x=0\):
\[V(x,y)=\begin{cases}0, & x<0,\\[4pt] V_{0}, & x>0,\end{cases}
e pede três coisas principais:
estudar o movimento do centro de um pacote de ondas que incide obliquamente sobre o degrau (ou seja, com componente de momento k_x\] e \(k_y);
no caso de reflexão total (energia menor que o topo do degrau para a componente normal), interpretar fisicamente o deslocamento lateral do pacote após a reflexão;
mostrar que, quando V_{0}\to+\infty, a trajetória quântica tende para a trajetória clássica.
Informações relevantes que vamos usar (tome-as como dadas pelo problema):
o pacote incidente é formado por superposição de ondas planas com momento central (k_{x0},k_{y0}) e energia central
Nesta etapa aprenda: o coeficiente r surge de casar \psi e \partial_x\psi na fronteira; quando a onda no segundo meio é evanescente, |r|=1 e tudo o que ocorre fisicamente é uma mudança de fase dependente de k_y (essa dependência é a chave para o deslocamento lateral).
Passo 3
Agora montamos o pacote de ondas refletido por superposição e usamos aproximação de fase estacionária para achar o movimento do centro.
Escrevendo o pacote incidente no espaço de momentos, seja A(k_x,k_y) a amplitude centrada em (k_{x0},k_{y0}). Após reflexão, cada componente de momento adquire o fator r(k_x,k_y) e a componente k_x é trocada por -k_x (direção normal invertida). Focando na dependência em k_y (a que dá deslocamento lateral), o campo refletido pode ser escrito, desprezando constantes e fatores que apenas deslocam globalmente a fase:
onde a(k_y) é a amplitude efetiva em k_y (assumimos que a integração em k_x fica presa perto do valor correspondente por causa do formato do pacote) e \omega(k)=\dfrac{\hbar}{2m}(k_x^{2}+k_y^{2}).
Para localizar o centro do pacote usamos a condição de fase estacionária: o valor de k_y que mais contribui é aquele que zera a derivada da fase total em relação a k_y. Denotando por \Phi(k_y)=-k_x(k_y)x+k_y y-\omega(k_y)t+\varphi(k_y), a condição é
Portanto o deslocamento lateral (ao comparar posição do centro antes e depois da reflexão) é
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\Bigg|_{k_{y0}}.
Nesta etapa aprenda: a fórmula \Delta y = -\dfrac{d\varphi}{dk_y} é um resultado de fase estacionária (sem truques): uma variação de fase com o momento paralelo se converte numa translação espacial na direção paralela. É a mesma ideia por trás do deslocamento de Goos–Hänchen em óptica.
Passo 4
Calculemos explicitamente \Delta y usando a fase encontrada no Passo 2.
Uma expressão simples, útil qualitativamente, é obtida notando que para reflexão total \kappa>0 e que \kappa depende explicitamente de k_y. Não é difícil, se necessário, desenvolver essa derivada completamente; o ponto importante é que \dfrac{d\varphi}{dk_y} é finito e, em geral, não nulo: isso gera \Delta y\neq 0.
Interpretação física do deslocamento lateral:
O pacote penetra um pouco (cauda evanescente) na região x>0 antes de ser totalmente refletido. Durante essa penetração a parte paralela do impulso k_y gera uma dependência da fase adquirida com k_y. Essa dependência de fase transforma-se, por interferência entre as componentes em k_y, num deslocamento lateral da máxima amplitude do pacote refletido. É a versão quântica do deslocamento de Goos–Hänchen: o reflexo não ocorre exatamente no ponto geométrico de incidência, mas com um pequeno deslocamento ao longo da interface.
Passo 5
Mostrar que, quando V_{0}\to+\infty, a trajetória quântica torna-se a clássica (i.e., \Delta y\to 0).
Para V_{0} muito grande, a expressão para \kappa fica dominada pelo termo \dfrac{2m}{\hbar^{2}}V_{0}. Escrevendo
A correção à fase é da ordem k_x/\kappa, ou seja, proporcional a 1/\sqrt{V_{0}}.
Logo a derivada \dfrac{d\varphi}{dk_y} tende a zero quando V_{0}\to\infty (porque os termos que dependem de k_y aparecem multiplicados por fatores 1/\kappa ou 1/\kappa^{2}). Portanto
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\longrightarrow 0 \qquad (V_{0}\to\infty).
Fisicamente: uma parede de potencial infinitamente alta impede toda penetração evanescente; o pacote “vê” uma fronteira perfeitamente rígida onde a reflexão é especular e instantânea, sem adquirir fase dependente de k_y. Isso recupera a reflexão clássica especular (com reversão de v_x e conservação de v_y), sem deslocamento lateral.
Passo 6
Resumo didático final (como aplicar isso numa prova):
Calcule o coeficiente de reflexão para uma onda plana casando \psi e \partial_x\psi em x=0. Resultado:
Modele o pacote como superposição em k_y e use fase estacionária; o deslocamento lateral do centro do pacote é
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\Bigg|_{k_{y0}}.
Interprete: \Delta y vem da fase adquirida pela penetração evanescente na barreira (análogo ao Goos–Hänchen). É um efeito puramente de interferência quântica.
No limite V_{0}\to\infty tem-se \Delta y\to 0, recuperando a reflexão clássica especular (trajetória quântica assimptoticamente coincide com a clássica).