8. Reflexão oblíqua em duas dimensões

[Complementar]
Considere a reflexão oblíqua de uma partícula em um degrau de potencial
V(x, y)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ V_{0}, & x>0\end{cases}
Estude o movimento do centro de um pacote de ondas. No caso de reflexão total, interprete fisicamente o deslocamento lateral do pacote após a reflexão.
Mostre que, quando V_{0} \rightarrow+\infty, a trajetória quântica torna-se assintótica à trajetória clássica.

Passo 1

O enunciado dá uma parede de potencial vertical em x=0\): \[V(x,y)=\begin{cases}0, & x<0,\\[4pt] V_{0}, & x>0,\end{cases}
e pede três coisas principais:
  • estudar o movimento do centro de um pacote de ondas que incide obliquamente sobre o degrau (ou seja, com componente de momento k_x\] e \(k_y);
  • no caso de reflexão total (energia menor que o topo do degrau para a componente normal), interpretar fisicamente o deslocamento lateral do pacote após a reflexão;
  • mostrar que, quando V_{0}\to+\infty, a trajetória quântica tende para a trajetória clássica.
Informações relevantes que vamos usar (tome-as como dadas pelo problema):
  • o pacote incidente é formado por superposição de ondas planas com momento central (k_{x0},k_{y0}) e energia central
E=\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(k_{x0}^{2}+k_{y0}^{2}\bigr).
  • a componente k_{y} é conservada ao atravessar a fronteira em x=0 (simetria translacional em y).
  • precisamos tratar o caso de reflexão total onde, na região x>0, a componente de x da onda torna-se imaginária (evanescente).]

Passo 2

Resolvendo o problema de espalhamento para uma onda plana: escrevemos soluções separadas em x<0 e x>0.
  • Para x<0 (região livre), a solução é soma de onda incidente e onda refletida:
\psi_{<}(x,y)=e^{i(k_x x+k_y y)}+r(k_x,k_y)\,e^{-i(k_x x)+i k_y y}.
Aqui k_x>0 é a componente normal da onda incidente e k_y a paralela; a dependência temporal e^{-i\omega t} está entendida e será tratada depois.
  • Para x>0 (potencial V_{0}), a equação de Schrödinger estacionária exige que a componente x satisfaça
\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(q_x^{2}+k_y^{2}\bigr)=E-V_{0}.
Definimos
q_x=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^{2}}(E-V_{0})-k_y^{2}}.
Quando E<V_{0} (ou mais precisamente quando a expressão dentro da raiz é negativa), q_x é imaginário: escrevemos q_x=i\kappa com
\kappa=\sqrt{k_y^{2}+\frac{2m}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)}.
A solução para x>0 é então (no caso geral)
\psi_{>}(x,y)=t(k_x,k_y)\,e^{i q_x x + i k_y y},
que, para reflexão total, é uma cauda evanescente (q_x=i\kappa).
  • Impor continuidade de \psi e \partial_x\psi em x=0 dá o coeficiente de reflexão
r(k_x,k_y)=\frac{k_x-q_x}{k_x+q_x}.
No caso de reflexão total, com q_x=i\kappa, obtemos
r(k_x,k_y)=\frac{k_x-i\kappa}{k_x+i\kappa},
que tem módulo unitário |r|=1 (ou seja, reflexão total) e fase não trivial. Escrevemos
r(k_x,k_y)=e^{i\varphi(k_x,k_y)},
com
\varphi(k_x,k_y)=-2\arctan\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr), \qquad \kappa=\sqrt{k_y^{2}+\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)}.
Nesta etapa aprenda: o coeficiente r surge de casar \psi e \partial_x\psi na fronteira; quando a onda no segundo meio é evanescente, |r|=1 e tudo o que ocorre fisicamente é uma mudança de fase dependente de k_y (essa dependência é a chave para o deslocamento lateral).

Passo 3

Agora montamos o pacote de ondas refletido por superposição e usamos aproximação de fase estacionária para achar o movimento do centro.
  • Escrevendo o pacote incidente no espaço de momentos, seja A(k_x,k_y) a amplitude centrada em (k_{x0},k_{y0}). Após reflexão, cada componente de momento adquire o fator r(k_x,k_y) e a componente k_x é trocada por -k_x (direção normal invertida). Focando na dependência em k_y (a que dá deslocamento lateral), o campo refletido pode ser escrito, desprezando constantes e fatores que apenas deslocam globalmente a fase:
\psi_{\text{ref}}(x,y,t)\simeq \int \!dk_y\; a(k_y)\, e^{i\bigl(-k_x(k_y)x + k_y y - \omega(k_y)t + \varphi(k_x(k_y),k_y)\bigr)},
onde a(k_y) é a amplitude efetiva em k_y (assumimos que a integração em k_x fica presa perto do valor correspondente por causa do formato do pacote) e \omega(k)=\dfrac{\hbar}{2m}(k_x^{2}+k_y^{2}).
  • Para localizar o centro do pacote usamos a condição de fase estacionária: o valor de k_y que mais contribui é aquele que zera a derivada da fase total em relação a k_y. Denotando por \Phi(k_y)=-k_x(k_y)x+k_y y-\omega(k_y)t+\varphi(k_y), a condição é
\frac{d\Phi}{dk_y}=0 \quad\Longrightarrow\quad - \frac{d k_x}{d k_y}\,x + y - \frac{d\omega}{dk_y}\,t + \frac{d\varphi}{dk_y}=0.
  • Avaliando isto no k_y central (ou seja, em k_{y0}) temos termos conhecidos:
\frac{d\omega}{dk_y}=\frac{\hbar}{m}k_y = v_y \quad\text{(velocidade de grupo paralela à fronteira),}à
e, para k_x=\sqrt{k_0^{2}-k_y^{2}} com k_0^{2}=k_x^{2}+k_y^{2} aproximadamente constante na banda do pacote,
\frac{d k_x}{d k_y}=-\frac{k_y}{k_x}.
  • Rearranjando a condição de fase estacionária obtemos a posição y do centro do pacote refletido em função de x e t:
y = \frac{d k_x}{d k_y}\,x + v_y t - \frac{d\varphi}{dk_y}.
  • Em particular, no momento e local onde ocorre a reflexão efetiva (quando o centro alcança a fronteira em x=0), o primeiro termo some ( x=0) e obtemos
y_{\text{reflected, instante}} = v_y t_{\text{ref}} - \frac{d\varphi}{dk_y}.
O centro do pacote incidente, ao mesmo instante t_{\text{ref}}, estaria em
y_{\text{incident, instante}} = v_y t_{\text{ref}}.
Portanto o deslocamento lateral (ao comparar posição do centro antes e depois da reflexão) é
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\Bigg|_{k_{y0}}.
Nesta etapa aprenda: a fórmula \Delta y = -\dfrac{d\varphi}{dk_y} é um resultado de fase estacionária (sem truques): uma variação de fase com o momento paralelo se converte numa translação espacial na direção paralela. É a mesma ideia por trás do deslocamento de Goos–Hänchen em óptica.

Passo 4

Calculemos explicitamente \Delta y usando a fase encontrada no Passo 2.
  • Lembrando
\varphi(k_x,k_y)=-2\arctan\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr), \qquad \kappa=\sqrt{k_y^{2}+\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)}.
Para derivar \dfrac{d\varphi}{dk_y} podemos usar regra da cadeia:
\frac{d\varphi}{dk_y} = -2\frac{1}{1+(\kappa/k_x)^{2}}\cdot\frac{d}{dk_y}\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr).
Uma expressão simples, útil qualitativamente, é obtida notando que para reflexão total \kappa>0 e que \kappa depende explicitamente de k_y. Não é difícil, se necessário, desenvolver essa derivada completamente; o ponto importante é que \dfrac{d\varphi}{dk_y} é finito e, em geral, não nulo: isso gera \Delta y\neq 0.
Interpretação física do deslocamento lateral:
  • O pacote penetra um pouco (cauda evanescente) na região x>0 antes de ser totalmente refletido. Durante essa penetração a parte paralela do impulso k_y gera uma dependência da fase adquirida com k_y. Essa dependência de fase transforma-se, por interferência entre as componentes em k_y, num deslocamento lateral da máxima amplitude do pacote refletido. É a versão quântica do deslocamento de Goos–Hänchen: o reflexo não ocorre exatamente no ponto geométrico de incidência, mas com um pequeno deslocamento ao longo da interface.

Passo 5

Mostrar que, quando V_{0}\to+\infty, a trajetória quântica torna-se a clássica (i.e., \Delta y\to 0).
  • Para V_{0} muito grande, a expressão para \kappa fica dominada pelo termo \dfrac{2m}{\hbar^{2}}V_{0}. Escrevendo
\kappa=\sqrt{\dfrac{2m}{\hbar^{2}}V_{0} + k_y^{2} - \dfrac{2m}{\hbar^{2}}E} \sim \sqrt{\dfrac{2m}{\hbar^{2}}V_{0}}\qquad (V_{0}\to\infty).
  • Então
\frac{\kappa}{k_x}\to\infty, \qquad \varphi(k_x,k_y)=-2\arctan\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr)\to -\pi + O\!\Bigl(\frac{k_x}{\kappa}\Bigr).
A correção à fase é da ordem k_x/\kappa, ou seja, proporcional a 1/\sqrt{V_{0}}.
  • Logo a derivada \dfrac{d\varphi}{dk_y} tende a zero quando V_{0}\to\infty (porque os termos que dependem de k_y aparecem multiplicados por fatores 1/\kappa ou 1/\kappa^{2}). Portanto
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\longrightarrow 0 \qquad (V_{0}\to\infty).
  • Fisicamente: uma parede de potencial infinitamente alta impede toda penetração evanescente; o pacote “vê” uma fronteira perfeitamente rígida onde a reflexão é especular e instantânea, sem adquirir fase dependente de k_y. Isso recupera a reflexão clássica especular (com reversão de v_x e conservação de v_y), sem deslocamento lateral.

Passo 6

Resumo didático final (como aplicar isso numa prova):
    1. Calcule o coeficiente de reflexão para uma onda plana casando \psi e \partial_x\psi em x=0. Resultado:
r(k_x,k_y)=\frac{k_x-q_x}{k_x+q_x}, \qquad q_x=\sqrt{\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(E-V_{0})-k_y^{2}}.
    1. No caso de reflexão total ( E<V_{0}), escreva q_x=i\kappa com
\kappa=\sqrt{k_y^{2}+\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)},
e então
r=e^{i\varphi},\qquad \varphi=-2\arctan\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr).
    1. Modele o pacote como superposição em k_y e use fase estacionária; o deslocamento lateral do centro do pacote é
\Delta y = -\frac{d\varphi}{dk_y}\Bigg|_{k_{y0}}.
    1. Interprete: \Delta y vem da fase adquirida pela penetração evanescente na barreira (análogo ao Goos–Hänchen). É um efeito puramente de interferência quântica.
    1. No limite V_{0}\to\infty tem-se \Delta y\to 0, recuperando a reflexão clássica especular (trajetória quântica assimptoticamente coincide com a clássica).

Resposta

r(k_x,k_y)=\frac{k_x-q_x}{k_x+q_x},\qquad q_x=\sqrt{\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(E-V_{0})-k_y^{2}}.
\text{(reflexão total) } \; r=e^{i\varphi},\qquad \varphi(k_x,k_y)=-2\arctan\!\biggl(\frac{\kappa}{k_x}\biggr), \qquad \kappa=\sqrt{k_y^{2}+\dfrac{2m}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)}.ã
\text{Deslocamento lateral: }\qquad \Delta y=-\frac{d\varphi}{dk_y}\Bigg|_{k_{y0}}.
\text{Interpretação: } \Delta y \text{ é o deslocamento tipo Goos–Hänchen devido à penetração evanescente (fase dependente de }k_y).çãéäàçã
\text{Limite clássico: }\qquad \Delta y\longrightarrow 0 \quad\text{quando}\quad V_{0}\to+\infty,á
ou seja, a trajetória quântica torna-se assintótica à trajetória clássica.

Exercícios relacionados