7. Poço semi-infinito com parede infinita

[Complementar]
Considere uma partícula no potencial
V(x)= \begin{cases}0, & x>a \\\\ -V_{0}, & 0 \leq x<a \\\\ +\infty, & x<0\end{cases}
Mostre que os estados estacionários podem ser estendidos a funções ímpares de um poço quadrado simétrico de largura 2 a e profundidade V_{0}.
Discuta o número de estados ligados em função de a e V_{0}. Existe sempre ao menos um estado ligado?

Passo 1

O enunciado dá um potencial unidimensional com três regiões:
  • para x<0: V(x)=+\infty (parede infinita à esquerda);
  • para 0\le x<a: V(x)=-V_{0} (poço de profundidade V_{0}>0);
  • para x>a: V(x)=0 (região livre à direita).
O que se pede:
  1. Mostrar que os estados estacionários do poço semi-infinito (a região x\ge0 com a parede em x=0) podem ser obtidos como as funções ímpares (paridade negativa) dos autovalores de um poço quadrado simétrico de largura 2a e profundidade V_{0} (ou seja, o poço simétrico -a\le x\le a com V=-V_0 dentro e V=0 fora).
  2. Discutir o número de estados ligados (autovalores com E<0) do poço semi-infinito em função de a e V_{0}. Responder se sempre existe pelo menos um estado ligado.
Listei acima as informações dadas e as perguntas. A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo e definindo as quantidades úteis.
A equação de Schrödinger estacionária é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi,
com E energia do estado. Para estados ligados no semi-poço temos -V_{0}<E<0 (energia abaixo do referencial V=0, mas acima de -V_{0} dentro do poço).
É prático definir as constantes de momento real/decrescente:
k\equiv\frac{\sqrt{2m(E+V_{0})}}{\hbar},\qquad \kappa\equiv\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}.
  • Aqui k é real positivo porque E+V_{0}>0 (dentro do poço o “energia relativa” é positiva para estados ligados).
  • \kappa é real positivo porque E<0 (fora do poço a solução decai exponencialmente).
Vou agora construir as soluções em cada região do semi-poço ( x<0,\,0\le x\le a,\,x>a) e aplicar as condições de contorno.

Passo 3

Solução no semi-poço: forma geral nas três regiões e condições em x=0 e x=a.
  • Para x<0: V=+\infty implica \psi(x)=0 para x\le 0. Em particular a condição de contorno física é
\psi(0)=0.
  • Para 0\le x\le a (região interna com V=-V_0): a equação reduz a uma solução oscilatória
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).
A condição \psi(0)=0 força B=0. Logo dentro do poço temos a forma simples
\psi(x)=A\sin(kx),\qquad 0\le x\le a.
Isso já é uma dica: a função interior tem nó em x=0, mesma característica das funções ímpares de um poço simétrico.
  • Para x>a (região V=0 e E<0): a solução que tende a zero à distância é exponencial decrescente
\psi(x)=C\,e^{-\kappa(x-a)},\qquad x\ge a,
escolhi escrever a exponencial como função de (x-a) para simplificar o casamento em x=a.
Agora aplicamos as condições de continuidade em x=a (continuidade de \psi e de \psi'):
\psi(a^-)=\psi(a^+),\qquad \psi'(a^-)=\psi'(a^+).
Substituindo as formas:
A\sin(ka)=C,
A k\cos(ka) = -C\kappa,
onde o sinal negativo aparece porque \dfrac{d}{dx}e^{-\kappa(x-a)}\big|_{x=a}=-\kappa.
Eliminando C entre as duas equações obtemos a condição de quantização (condição transcendental) para os estados ligados do semi-poço:
k\cos(ka) = -\kappa\sin(ka).
Rearranjando,
\cot(ka) = -\frac{\kappa}{k} \qquad\text{ou}\qquad \tan(ka) = -\frac{k}{\kappa}.
Essa é a equação que determina os valores permitidos de k (e, via k, os valores de energia E=-\dfrac{\hbar^{2}\kappa^{2}}{2m}).

Passo 4

Mostrando a conexão com as funções ímpares do poço simétrico [-a\le x\le a).
Considere o poço quadrado simétrico de largura 2a:
V_{\text{sim}}(x)=\begin{cases}-V_{0},& |x|<a,\\[4pt]0,& |x|>a.\end{cases}
Nesse problema simétrico as autofunções podem ser escolhidas com paridade definida: pares (ímpares?) ou ímpares. As autofunções ímpares satisfazem \psi_{\text{odd}}(0)=0\] e, para \(0<x<a, têm a forma \psi_{\text{odd}}(x)=A\sin(kx) (mesma forma interior que encontramos no semi-poço). Para x>a as ímpares também decaem como C e^{-\kappa(x-a)} (com mudança de sinal à esquerda por serem ímpares), e a condição de casamento em x=a é exatamente a mesma condição transcendental que obtivemos acima:
\tan(ka)=-\frac{k}{\kappa}.
Portanto cada autovalor ímpar do poço simétrico satisfaz a mesma equação que os autovalores do semi-poço, e a função ímpar restrita a x\ge 0 satisfaz \psi(0)=0 e é uma solução válida do semi-poço. Inversamente, dado um estado ligado do semi-poço ( \psi definido para x\ge0 e zero para x<0), pode-se estender esse \psi de forma ímpar para todo o eixo real definindo \psi(-x)=-\psi(x); a extensão satisfaz a equação de Schrödinger no poço simétrico e é uma autofunção ímpar do poço simétrico. Logo existe uma correspondência biunívoca entre estados ligados do semi-poço e autofunções ímpares do poço simétrico: isto prova o enunciado pedido.
Resumo prático: os estados do semi-poço = restrição às x\ge0 das autofunções ímpares do poço simétrico de largura 2a.]

Passo 5

Discussão do número de estados ligados: equação transcendental e contagem dos modos.
Reescrevendo a coisa em termos de k_{0} útil:
k_{0}\equiv\frac{\sqrt{2mV_{0}}}{\hbar},
note que k varia no intervalo 0<k<k_{0} porque E varia entre -V_{0} e 0. A equação de quantização é
\tan(ka)=-\frac{k}{\sqrt{k_{0}^{2}-k^{2}}}.
Para contar soluções, use o argumento gráfico-clássico: o lado esquerdo \tan(ka) é uma função periódica com assíntotas verticais em ka=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\dots. O lado direito -\dfrac{k}{\sqrt{k_{0}^{2}-k^{2}}} é contínuo, negativo e monotonicamente decrescente de 0 (quando k\to0) até -\infty quando k\to k_{0}^{-}. Assim, em cada intervalo de ka onde \tan(ka) é negativa (isto é, em \tfrac{\pi}{2}<ka<\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}<ka<2\pi,\\ \dots), pode haver uma interseção entre as curvas e portanto uma solução k.
Isto leva à regra de contagem: existe uma solução para cada inteiro m\ge1 tal que
\left(m-\tfrac12\right)\pi < k_{0}a.
O número total N de estados ligados do semi-poço (que é igual ao número de estados ímpares do poço simétrico) é, portanto, o número de inteiros m que satisfazem a desigualdade acima. Isso dá a fórmula fechada
N=\left\lfloor \frac{k_{0}a}{\pi} + \frac12 \right\rfloor
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x.
Reescrevendo em termos de a e V_{0},
N=\left\lfloor \frac{a}{\pi}\sqrt{\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}}+\frac12\right\rfloor.
Essa expressão diz, em palavras: ao aumentar a ou V_{0} aumenta o argumento e, em degraus, aparecem mais estados ligados; cada vez que \dfrac{a}{\pi}\sqrt{\dfrac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}} ultrapassa valores do tipo n-\tfrac12 incrementa-se N em uma unidade.
Para grandes a ou V_0 (poço largo ou profundo) a estimativa contínua dá o comportamento esperado aproximado
N\approx \frac{a}{\pi}\sqrt{\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}}
(escala linear com a e com \sqrt{V_{0}}).

Passo 6

Condição para existir ao menos um estado ligado; interpretação física.
Para N\ge1 precisamos que a parte dentro do piso seja pelo menos 1, isto é
\frac{k_{0}a}{\pi}+\frac12 \ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad k_{0}a \ge \frac{\pi}{2}.
Substituindo k_{0} obtemos a condição mínima de existência do primeiro estado ligado:
\frac{a}{\pi}\sqrt{\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}}\ge \frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad V_{0}\ge \frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{8 m a^{2}}.
Interpretação: o semi-poço só contém um estado ligado mínimo se o produto a\sqrt{V_{0}} for suficientemente grande; se o poço for muito estreito e/ou muito raso não haverá estados ligados que satisfaçam \psi(0)=0 e decaimento em x\to\infty.
Portanto a resposta à pergunta “Existe sempre ao menos um estado ligado?” é: não. Para o poço semi-infinito há um limiar: só existe pelo menos um estado ligado se
V_{0}>\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{8 m a^{2}}.
Se V_{0} for menor que esse limite (ou a for pequeno o suficiente), não existe estado ligado no semi-poço.

Resposta

Os estados do semi-poço correspondem exatamente às autofunções ímpares do poço quadrado simétrico de largura 2a e profundidade V_{0}; as energias são obtidas das soluções k da equação transcendental
\tan(ka)=-\frac{k}{\sqrt{k_{0}^{2}-k^{2}}},\qquad k_{0}=\frac{\sqrt{2mV_{0}}}{\hbar}.
O número de estados ligados do semi-poço é
N=\left\lfloor \frac{a}{\pi}\sqrt{\frac{2mV_{0}}{\hbar^{2}}}+\frac12\right\rfloor.
Existe pelo menos um estado ligado se, e somente se,
V_{0}>\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{8 m a^{2}}.

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