O que se pode afirmar a respeito do número complexo z se z=barz? E se (z)^2=barz^2? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, então a questão pergunta duas coisas sobre um número complexo :
  1. o que acontece se ?
  2. o que acontece se ?
Conteúdo: número complexo, parte real e imaginária, conjugado e igualdade de números complexos (igualdade de partes real e imaginária).
O que vamos precisar: escrever como , lembrar que e comparar partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro caso: x + i y ;=; x - i y .
Escreve e .
A igualdade vira
Por igualdade de números complexos, as partes reais têm que ser iguais e as partes imaginárias também:
  • Parte real: (sempre ok).
  • Parte imaginária: .
Daí sai .
Ou seja, , um número puramente real.

Passo 3

Segundo caso: z^2 = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + 2i x y, bar z^2 = (x - i y)^2 = x^2 - y^2 - 2i x y .
Ainda com x^2 - y^2 + 2i x y = x^2 - y^2 - 2i x y , calcula
Agora iguala:
Novamente partes real e imaginária:
  • Real: (sempre ok).
  • Imaginária: .
Isso dá .
Logo ou ou .
Se , é real.
Se , é puramente imaginário.

Resposta

  1. Se , então é real ( ).
  2. Se , então ou é real ( ) ou é puramente imaginário ( ).

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