Determine o valor máximo do intervalo entre as amostras para que a saída y(t) do circuito, cujas função de transferência e entrada são
H(s)=s+1(s+2)(s+3) , x(t)=100 cos ^2(3 t)
seja recuperada sem erro a partir de suas amostras.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e quais conceitos a gente vai usar.
– Enunciado resumido: Temos um circuito com função de transferência
H(s)=s+1(s+2)(s+3)
e entrada
x(t)=100cos^2(3t),
Queremos saber qual é o maior intervalo de amostragem que mantém a saída recuperável sem erro.
– Conteúdo envolvido: teorema de amostragem de Nyquist, sinais banda-limitados e expansão de identidade trigonométrica.
– O que precisamos:
  1. Identificar as componentes de frequência de .
  2. Verificar se adiciona ou não novas frequências (spoiler: não adiciona).
  3. Aplicar o teorema de Nyquist para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^2theta = tfrac12 + tfrac12cos(2theta), usando a identidade trigonométrica
x(t)=100l(tfrac12+tfrac12cos(2cdot3t)r)=50 + 50cos(6t),
Logo,
Ou seja, é a soma de uma componente DC (freqüência zero) e uma senóide em .

Passo 3

Quando essa entrada passa pelo sistema Y(jomega)=H(jomega),X(jomega), , a saída em frequência é
Mas isso só muda amplitude e fase dessas componentes, não gera frequências novas.
Portanto, também terá apenas:
  • um termo DC (frequência )
  • um termo em .
    Não aparece nada além disso.

Passo 4

Segundo o teorema de amostragem de Nyquist para sinais com maior componente em omegas > 2,omegamax, , a frequência de amostragem em rad/s deve satisfazer
omegas>2cdot6=12 rad/s,
Aqui 2piT>12 Longrightarrow T<2pi12=pi6 s, , então
Como , temos

Resposta

O maior intervalo de amostragem para recuperar boxedTmax = pi6 segundos sem erro é

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