Determine o valor máximo do intervalo entre as amostras para que a saída
do circuito, cujas função de transferência e entrada são
seja recuperada sem erro a partir de suas amostras.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e quais conceitos a gente vai usar.
– Enunciado resumido: Temos um circuito com função de transferência
– Enunciado resumido: Temos um circuito com função de transferência
e entrada
Queremos saber qual é o maior intervalo de amostragem
que mantém a saída
recuperável sem erro.
– Conteúdo envolvido: teorema de amostragem de Nyquist, sinais banda-limitados e expansão de identidade trigonométrica.
– O que precisamos:
- Identificar as componentes de frequência de
. - Verificar se
adiciona ou não novas frequências (spoiler: não adiciona). - Aplicar o teorema de Nyquist para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
usando a identidade trigonométrica
Logo,
Ou seja,
é a soma de uma componente DC (freqüência zero) e uma senóide em
.
Passo 3
Quando essa entrada passa pelo sistema
, a saída em frequência é
Mas isso só muda amplitude e fase dessas componentes, não gera frequências novas.
Portanto, também terá apenas:
Portanto,
- um termo DC (frequência
) - um termo em
.
Não aparece nada além disso.
Passo 4
Segundo o teorema de amostragem de Nyquist para sinais com maior componente em
, a frequência de amostragem em rad/s deve satisfazer
Aqui
, então
Como
, temos
Resposta
O maior intervalo de amostragem para recuperar
sem erro é