Considere x(t) um sinal limitado em frequência cuja máxima frequência é omegam rad / s. Sabendo que omegas=2 pi / T>2 omegam, determine a expressão da transformada de Fourier do filtro que recupera o sinal x(t) sem distorção a partir de
xa(t)=sumn=-infty^+infty x(n T) sinc^2(omegas2 pi(t-n T))

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que diz o enunciado e o que a gente precisa fazer.
Você tem um sinal contínuo xa(t) ;=;sumn=-infty^+infty x(nT),sinc^2!l(tfracomegas2pi(t-nT)r), que é band-limited até . A gente amostra esse sinal de forma que . Em seguida, constrói
O objetivo é achar a transformada de Fourier de um filtro que, aplicado a , recupera exatamente (sem distorção).
Matéria: Teorema da amostragem, convolução e transformada de Fourier contínua.
O que vamos precisar:
  • expressão de em função de ,
  • a TF do “kernel” ,
  • e daí definir como a função que anula a deformação introduzida pelo .

Passo 2

Primeiro, escrevemos xa(t) ;=;l(sumn x(nT),de como convolução no tempo:
Pela propriedade da TF, se
Xs(omega) =Flsumn x(nT),de
e
G(omega)=Fg(t),
então
Xa(omega)=Xs(omega),G(omega)

Passo 3

Agora precisamos da transformada de
Usando a forma “normalizada”
, dá para mostrar (ou consultar tabela) que
g(t)=sinc^2!l(omegas2pitr) çã
No nosso caso Fll[tfracsin(Bt)Btr]^2r ;=;piB,Lambda!l(omega2Br) (função triangular de base (2B)) , pois
.
Logo
G(omega) =2piomegas,l(1-|omega|omegasr) para |omega|<=omegas,
e fora desse intervalo.

Passo 4

Como Xa(omega) =2piT,X(omega);G(omega) =2piT,X(omega); 2piomegasl(1-|omega|omegasr) , não há sobreposição (\emph{aliasing}) dos espectros, então, para Xa(omega) =underbracel[4pi^2T,omegasl(1-|omega|omegasr)r]H1(omega);X(omega) , só o termo X(omega) = H(omega),Xa(omega) contribui em H(omega) =1H1(omega) =T,omegas4pi^2;11-tfrac|omega|omegas ;=;omegas2pi,(omegas-|omega|), . Assim
Reorganizando:
Para recuperar a partir de , precisamos de um filtro que faça
Logo, em ,
e fora de .

Resposta

boxed% H(omega);=; dfracomegas2pi,l(omegas-|omega|r), & |omega|<=omegam,[6pt] 0, & caso contrário á

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