Considere um sinal limitado em frequência cuja máxima frequência é . Sabendo que , determine a expressão da transformada de Fourier do filtro que recupera o sinal sem distorção a partir de
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que diz o enunciado e o que a gente precisa fazer.
Você tem um sinal contínuo que é band-limited até . A gente amostra esse sinal de forma que . Em seguida, constrói
O objetivo é achar a transformada de Fourier de um filtro que, aplicado a , recupera exatamente (sem distorção).
Matéria: Teorema da amostragem, convolução e transformada de Fourier contínua.
O que vamos precisar:
expressão de em função de ,
a TF do “kernel” ,
e daí definir como a função que anula a deformação introduzida pelo .
Passo 2
Primeiro, escrevemos como convolução no tempo:
Pela propriedade da TF, se
e
então
Passo 3
Agora precisamos da transformada de
Usando a forma “normalizada”
, dá para mostrar (ou consultar tabela) que
No nosso caso , pois
.
Logo
e fora desse intervalo.
Passo 4
Como , não há sobreposição (\emph{aliasing}) dos espectros, então, para , só o termo contribui em . Assim
Reorganizando:
Para recuperar a partir de , precisamos de um filtro que faça
Logo, em ,
e fora de .
Resposta
boxed% H(omega);=; dfracomegas2pi,l(omegas-|omega|r), & |omega|<=omegam,[6pt] 0, & caso contrário á