Como pode uma aproximação de primeiro termo ser usada para determinar a resposta térmica transiente de uma parede plana, de um cilindro longo ou de uma esfera submctido a uma súbita mudança na temperatura da superfície?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como usar uma aproximação de primeiro termo (ou seja, manter apenas o primeiro modo da série da solução por separação de variáveis) para determinar a resposta térmica transiente quando a superfície de um corpo sólido (parede plana, cilindro longo ou esfera) sofre uma mudança brusca de temperatura.
Informações/condições relevantes (assumidas típicas nesse problema): \n
  • O problema é de condução de calor transiente no sólido, com propriedades térmicas constantes: condutividade k, difusividade térmica \alpha, densidade \rho, calor específico c.
  • A superfície do corpo é submetida subitamente a uma nova temperatura do fluido ambiente T_\infty com convecção caracterizada por coeficiente h.
  • Temperatura inicial uniforme do corpo: T(x,0)=T_i.
  • Queremos a evolução temporal da temperatura T(\cdot,t) dentro do sólido.
  • O enunciado pede o método prático: usar a aproximação de primeiro termo da série infinita que surge da solução exata por separação de variáveis.

Passo 2

Equação governante e não‑dimensionalização (a base matemática). Vou escrever a equação unidimensional genérica de condução transiente (válida localmente para parede em x, cilindro em r, esfera em r):
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \nabla^2 T.
Explicando: \alpha=\dfrac{k}{\rho c} é a difusividade térmica (módulo que dá a rapidez com que calor se propaga no material). A condição inicial é T(\cdot,0)=T_i. Na superfície temos convecção:
-k\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|_{surface}=h\bigl(T_{surface}-T_\infty\bigr).
Definimos a temperatura adimensional (normalização útil):
\theta(\textbf{r},t)=\frac{T(\textbf{r},t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
Explicando: \theta=1 inicialmente em todo lugar (pois T=T_i) e \theta\to 0 quando o sólido alcançar a temperatura do fluido T_\infty.
Também definimos duas grandezas adimensionais fundamentais:
\text{Bi}=\frac{hL_c}{k}\quad\text{(número de Biot)},ú
\text{Fo}=\frac{\alpha t}{L_c^2}\quad\text{(número de Fourier)}.ú
Explicando: L_c é o comprimento característico do corpo (meio-espessura L para uma parede simétrica, raio R para cilindro/esfera). \text{Bi} compara resistência de condução interna com resistência de convecção externa; \text{Fo} é tempo adimensional.

Passo 3

Estrutura da solução por separação de variáveis e por que surge uma série.
  • Ao aplicar separação de variáveis e impor condição inicial uniforme, a solução do problema é uma série infinita de modos próprios (autofunções) com decaimento exponencial no tempo:
\theta(\textbf{r},t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n \,\Phi_n(\textbf{r})\,\exp\bigl(-\zeta_n^2\,\text{Fo}\bigr).
Explicando cada termo: \Phi_n(\textbf{r}) é a forma espacial do n-ésimo modo (depende da geometria), \zeta_n é o autovalor associado (número adimensional obtido da condição de contorno) e A_n é o coeficiente determinado pela condição inicial (projeção da condição inicial sobre \Phi_n). Cada modo decai no tempo como \exp(-\zeta_n^2\text{Fo}). Os autovalores \zeta_n são as soluções positivas de equações transcendentes que vêm da condição de convecção na superfície: são dependentes de \text{Bi} e da geometria.

Passo 4

Por que a aproximação de primeiro termo funciona (intuição física e matemática).
  • Observe que os termos da série têm expoentes -\zeta_n^2\text{Fo} com \zeta_1<\zeta_2<\cdots. Assim, para tempos moderados a grandes, os modos de ordem n\ge2 decaem muito mais rápido (porque \zeta_n^2 é maior) e o primeiro modo domina.
  • Matematicamente, for \text{Fo} suficientemente grande (ou mesmo moderado), \exp(-\zeta_2^2\text{Fo})\ll\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}), logo
\theta(\textbf{r},t)\approx A_1\,\Phi_1(\textbf{r})\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr).
  • Essa é a aproximação de primeiro termo: manter somente n=1. Ela costuma ser muito boa após um curto período de tempo (depende de \text{Bi} e da geometria), e é extremamente útil porque transforma a solução complicada em uma única exponencial multiplicada por uma função espacial simples.

Passo 5

Equações características (transcendentes) para os autovalores \zeta_n — como obtê-los na prática.
Os autovalores \zeta_n satisfazem diferentes equações dependendo da geometria (obtidas aplicando a condição de contorno convectiva às autofunções):
  • Parede plana (meia‑espessura L, simetria no centro): \zeta_n \tan\zeta_n=\text{Bi}.
  • Cilindro longo (raio R): \zeta_n J_1(\zeta_n)=\text{Bi}\; J_0(\zeta_n),
onde J_0,J_1 são funções de Bessel de primeira espécie (ordens 0 e 1).
  • Esfera (raio R): \zeta_n\cot\zeta_n=1-\text{Bi}.
Explicando: essas equações vêm de aplicar a condição de contorno -\left.\dfrac{\partial\Phi}{\partial n}\right|_{surface}=\text{Bi}\,\Phi_{surface} às autofunções apropriadas (coseno para parede, J_0 para cilindro, \dfrac{\sin(\zeta r/R)}{\zeta r/R} para esfera). As \zeta_n são números que se obtêm numericamente (ou em tabelas/heisler charts). O menor positivo é \zeta_1.

Passo 6

Expressões da aproximação de primeiro termo para cada geometria (forma prática para usar na prova).
Vou escrever a forma prática da aproximação de primeiro termo, lembrando que L_c é L (meia-espessura) para parede e R para cilindro/esfera; e \text{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L_c^2}.
Parede plana (posição x medida a partir do centro, 0\le x\le L):
\theta(x,t)\approx A_1\cos\!\bigl(\zeta_1\,x/L\bigr)\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr),
onde \zeta_1 é a menor raiz positiva de \zeta\tan\zeta=\text{Bi} e o coeficiente A_1 (para condição inicial uniforme \theta=1) é
A_1=\frac{4\sin\zeta_1}{2\zeta_1+\sin(2\zeta_1)}.
Centrando-se no centro ( x=0) simplifica para \theta(0,t)\approx A_1\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}).
Cilindro longo (dependência radial r, 0\le r\le R):
\theta(r,t)\approx A_1\frac{J_0(\zeta_1 r/R)}{J_0(0)}\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr)=A_1 J_0(\zeta_1 r/R)\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr),
onde \zeta_1 satisfaz \zeta J_1(\zeta)=\text{Bi}\,J_0(\zeta) e A_1 é obtido pela projeção (ou tabelado). No centro ( r=0), como J_0(0)=1, fica \theta(0,t)\approx A_1\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}).
Esfera (dependência radial r, 0\le r\le R):
\theta(r,t)\approx A_1\frac{\sin(\zeta_1 r/R)}{\zeta_1 r/R}\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr),
onde \zeta_1 satisfaz \zeta\cot\zeta=1-\text{Bi} e A_1 vem da projeção (ou tabelas). No centro ( r\to0) a forma regular leva a \theta(0,t)\approx A_1\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}).
Observação importante: em todas as três geometrias a dependência temporal principal na aproximação de primeiro termo é a exponencial com taxa \zeta_1^2 multiplicada por um coeficiente A_1 que depende de \zeta_1 (e portanto de \text{Bi}).

Passo 7

Como determinar numericamente \zeta_1 e A_1 na prática (passo a passo para a prova):
  1. Calcule \text{Bi}=\dfrac{hL_c}{k} usando L_c=L (parede) ou L_c=R (cilindro/esfera).
  2. Resolva numericamente a equação característica correspondente para obter \zeta_1 (menor raiz positiva). Métodos rápidos: gráfico, tentativa e erro com calculadora, uso de tabelas ou tabelas de raízes já publicadas (Incropera, Heisler charts).
  3. Use a fórmula expressa para A_1 (se disponível em tabela) ou calcule A_1 pela integral de ortogonalidade:
A_1=\frac{\displaystyle\int_V \Phi_1(\mathbf{r})\,dV}{\displaystyle\int_V \Phi_1^2(\mathbf{r})\,dV},
onde as integrais são no volume do sólido e \Phi_1 é a autofunção tomada com a normalização usada. (Na prática para as três geometrias já existem fórmulas fechadas para A_1 — a da parede foi dada acima; para cilindro/esfera normalmente usa-se as tabelas/tabela de coeficientes A_1.)
4. Calcule \text{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L_c^2} e aplique a fórmula de primeiro termo para obter \theta(\cdot,t), depois volte para T por T=T_\infty+(T_i-T_\infty)\theta.

Passo 8

Quando a aproximação de primeiro termo é válida e quando não usar (regras práticas e relação com método “lumped”):
  • Se \text{Bi}<0,1 (regra prática), o corpo tem pequena resistência térmica interna e se comporta quase como um corpo “bem misturado”: a aproximação mais simples e apropriada é o modelo de capacitância lumped (temperatura uniforme no sólido) com decaimento exponencial \theta(t)=\exp(-\text{Bi}\,\text{Fo}). Nesse caso não é necessário a aproximação de primeiro termo detalhada.
  • Se \text{Bi}\gtrsim 0,1 e especialmente para \text{Bi}>0,5, há gradientes internos e a aproximação de primeiro termo é muito útil. Em geral a primeira moda já dá excelente precisão para tempos além de um pequeno intervalo inicial. Heisler charts e tabelas mostram a acurácia (erros típicos baixos para \text{Fo}\gtrsim 0,1 0,2, dependendo da geometria).
  • Em tempo muito curto ( \text{Fo}\ll1) a aproximação de primeiro termo pode não representar bem os detalhes iniciais próximos à superfície, porque as ondas rápidas (modos de ordem superior) podem ainda ter contribuição significativa; porém após um pequeno tempo a primeira termo domina.

Passo 9

Como usar isso na prova de forma direta (receita curta, “caneta e prova”):
  1. Identifique a geometria e calcule L_c.
  2. Calcule \text{Bi} e \text{Fo} (para o tempo que precisa avaliar).
  3. Se \text{Bi}<0,1 use lumped. Se não: encontre \zeta_1 resolvendo a equação característica adequada (slab, cilindro, esfera).
  4. Encontre A_1 (ou consulte tabela).
  5. Use a fórmula de primeiro termo:
\theta(\textbf{r},t)\approx A_1\,\Phi_1(\textbf{r})\,\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}),
converta para T. Para temperatura no centro basta usar \Phi_1(0)=1 e obter \theta(0,t)\approx A_1\exp(-\zeta_1^2\text{Fo}).
6. Se precisar de precisão, compare com Heisler charts ou calcule alguns termos adicionais da série (raramente necessário).

Passo 10

Dicas finais e incentivo (prático para prova):
  • Memorize as equações características e a expressão de A_1 para a parede (pois é a mais comum): \zeta\tan\zeta=\text{Bi} e A_1=\dfrac{4\sin\zeta_1}{2\zeta_1+\sin 2\zeta_1}.
  • Saiba reconhecer quando usar lumped capactiance (Bi pequeno) para poupar tempo.
  • Lembre: primeiro termo = uma exponencial simples no tempo × modo espacial simples. Para a maioria dos exercícios de prova isso é suficiente e rápido. Você consegue — vai dar certo!

Resposta

A resposta térmica transiente pode ser obtida aproximando a solução em série por separação de variáveis pelo seu primeiro modo dominante. Escrevendo \theta=(T-T_\infty)/(T_i-T_\infty), a aproximação de primeiro termo é
\theta(\mathbf r,t)\approx A_1\,\Phi_1(\mathbf r)\,\exp\bigl(-\zeta_1^2\,\text{Fo}\bigr),
com \text{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L_c^2}, \text{Bi}=\dfrac{hL_c}{k}, \zeta_1 sendo a menor raiz positiva da equação característica da geometria e \Phi_1 a autofunção espacial. As equações características são:
\text{parede: }\zeta\tan\zeta=\text{Bi};\qquad \text{cilindro: }\zeta J_1(\zeta)=\text{Bi}\,J_0(\zeta);\qquad \text{esfera: }\zeta\cot\zeta=1-\text{Bi}.
Para a parede o coeficiente A_1 (condição inicial uniforme) é
A_1=\frac{4\sin\zeta_1}{2\zeta_1+\sin(2\zeta_1)}.
Procedimento prático: calcule \text{Bi}, encontre \zeta_1 (numérica/tabela), obtenha A_1 (fórmula ou tabela), compute \text{Fo} e use a fórmula acima; para \text{Bi}<0{,}1 use o modelo lumped ( \theta=\exp(-\text{Bi}\,\text{Fo})).

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