Uma serpentina de resfriamento de 1 ft de comprimento (L) e constituída por um tubo de aço inoxidável 304 com diâmetro interno de 0,25 in (Di) e um diâmetro externo de 0,40 in (Do). Ela é utilizada para remover calor de um banho. A temperatura na superfície interna do tubo é 40^{\circ} \mathrm{F} e a externa é 80^{\circ} \mathrm{F}. A condutividade térmica do aço inoxidável 304 é uma função da temperatura:
k=7,75+7,78 E-3 T
onde k é dado em btu/(h.ft. { }^{\circ} \mathrm{F} ) e T em { }^{\circ} \mathrm{F}. Calcule o calor removido em btu/s e W.
Obs.: A Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas é dada por q^{\prime}=\frac{2 \pi k L}{\ln \left(\frac{r_{o}}{r_{i}}\right)} \Delta T
\mathrm{R}=1,22 \mathrm{btu} / \mathrm{s}=1287,051 \mathrm{~W}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o calor removido pela parede cilíndrica do tubo (potência térmica) em \mathrm{btu/s} e em \mathrm{W}.
Dados fornecidos:
L=1\\ \text{ft}
D_i=0,25\\ \text{in},\quad D_o=0,40\\ \text{in}
T_{\text{int}}=40\,^\circ\mathrm{F},\quad T_{\text{ext}}=80\,^\circ\mathrm{F}
condutividade térmica dependente da temperatura:
k(T)=7{,}75+7{,}78\times10^{-3}\,T\quad\text{(btu/(h·ft·}^\circ\mathrm{F))}
A fórmula de condução radial fornecida (Lei de Fourier em coordenadas cilíndricas) é:
q'=\frac{2\pi k L}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\Delta T,
onde q' é a taxa de calor (unidades compatíveis com k), r_i e r_o são os raios interno e externo, L é o comprimento e \Delta T é a diferença de temperatura através da parede.

Passo 2

Converter diâmetros em raios e transformar polegadas em pés (1 in = 1/12 ft).
r_i=\dfrac{D_i}{2}=\dfrac{0{,}25}{2}=0{,}125\\ \text{in}=\dfrac{0{,}125}{12}\\ \text{ft}=0{,}010416\overline{6}\\ \text{ft}
r_o=\dfrac{D_o}{2}=\dfrac{0{,}40}{2}=0{,}20\\ \text{in}=\dfrac{0{,}20}{12}\\ \text{ft}=0{,}016\overline{6}\\ \text{ft}
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)=\ln(1{,}6)\approx0{,}4700036

Passo 3

Tratar o k que varia com T. Como a variação de temperatura através da parede é pequena ( 40\,^\circ\mathrm{F} no total) e k(T) varia lentamente, usamos k avaliado na temperatura média da parede como boa aproximação:
T_{\text{m}}=\dfrac{T_{\text{int}}+T_{\text{ext}}}{2}=\dfrac{40+80}{2}=60\,^\circ\mathrm{F}.
Calcular k médio:
k(T_{\text{m}})=7{,}75+7{,}78\times10^{-3}\times60=7{,}75+0{,}4668=8{,}2168\\ \text{btu/(h·ft·}^\circ\mathrm{F)}.

Passo 4

Escolher \Delta T como a diferença de temperatura no sentido do fluxo de calor (da superfície externa mais quente para a interna mais fria), portanto:
\Delta T=T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}=80-40=40\,^\circ\mathrm{F}.
Aplicar a fórmula de condução radial (aqui k é o valor médio calculado):
q_{\text{(btu/h)}}=\frac{2\pi\,k\,L}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\Delta T.
Substituindo números:
q_{\text{(btu/h)}}=\frac{2\pi\times 8{,}2168\times 1\times 40}{0{,}4700036}.
Calcular passo a passo:
2\pi\times 8{,}2168\approx51{,}6277,
51{,}6277\times 40=2065{,}107,
q_{\text{(btu/h)}}=\dfrac{2065{,}107}{0{,}4700036}\approx4396{,}62\\ \text{btu/h}.

Passo 5

Converter \mathrm{btu/h} para \mathrm{btu/s}. Como 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}:
q_{\text{(btu/s)}}=\dfrac{q_{\text{(btu/h)}}}{3600}=\dfrac{4396{,}62}{3600}\approx 1{,}22128\\ \text{btu/s}.

Passo 6

Converter para watts usando 1\\ \text{btu/s}=1055{,}05585262\\ \mathrm{W}:
q_{\text{(W)}}=1{,}22128\times1055{,}05585262\approx1288{,}48\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Breve checagem de consistência: o valor em \mathrm{btu/s} obtido é aproximadamente \;1{,}22\\ \mathrm{btu/s}, que coincide com o valor indicado na observação (R \approx1{,}22\\ \mathrm{btu/s}). A aproximação de usar k na temperatura média é apropriada aqui porque k(T) não varia muito no intervalo de temperaturas considerado.

Resposta

\;1{,}2213\\ \mathrm{btu/s}
\;1288{,}48\\ \mathrm{W}

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