Como se pode definir matematicamente um escoamento permanente?
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “Como se pode definir matematicamente um escoamento permanente?”
Informações dadas (implícitas no enunciado) que vou usar:
Informações dadas (implícitas no enunciado) que vou usar:
- Existem campos de velocidade, densidade, pressão etc. dependentes de posição e tempo. Vou denotá-los de forma padrão: a velocidade por
, a densidade por e a pressão por . - A pergunta pede uma definição matemática e consequências úteis dessa definição.
Passo 2
Primeiro vamos fixar a notação e o que cada símbolo significa, porque é importante entender o que estamos diferenciando:
-
é o vetor posição no espaço (por exemplo ). -
é o tempo. -
é o campo de velocidades: para cada posição e instante ele dá a velocidade do fluido naquele ponto e instante. -
é a densidade do fluido no ponto e tempo . -
é a pressão.
Explicação rápida: um “campo” é só uma função que atribui um valor (escalar ou vetor) para cada ponto do espaço e do tempo. Em escoamentos, essas funções variam em
e em
.
Passo 3
Definição matemática do escoamento permanente (definição principal).
Um escoamento é chamado de permanente (ou estacionário) quando, para todo ponto do espaço, as variáveis de campo não mudam com o tempo observando-se a mesma posição fixa. Matematicamente isso se escreve assim para qualquer campo escalar ou campo vetorial (por exemplo a velocidade):
Um escoamento é chamado de permanente (ou estacionário) quando, para todo ponto do espaço, as variáveis de campo não mudam com o tempo observando-se a mesma posição fixa. Matematicamente isso se escreve assim para qualquer campo escalar
No caso do campo velocidade:
Isto significa: em cada ponto fixo do espaço, o valor do campo não depende do tempo.
Passo 4
Interpretação prática da definição (visão Euleriana vs Lagrangiana).
- Visão Euleriana (a usada na definição acima): observa-se um ponto fixo no espaço e pergunta-se se a velocidade, pressão, densidade naquele ponto mudam com o tempo. Se não mudam, o escoamento é permanente.
- Visão Lagrangiana (seguindo uma partícula fluida): a derivada material (ou total) de uma grandeza
é
Aqui
é o operador gradiente espacial e
representa a variação convectiva seguindo a partícula. Em um escoamento permanente temos
, portanto
Ou seja, a única variação que uma partícula sente ao se deslocar é a causada pelas variações espaciais do campo (convecção), não por uma variação explícita no tempo.
Passo 5
Consequência na equação da continuidade (conservação de massa).
A equação geral da continuidade é
A equação geral da continuidade é
Se o escoamento é permanente,
e a equação reduz-se a
Caso o fluido seja incompressível (densidade constante
constante), então a forma fica ainda mais simples:
Resumo didático: em escoamento permanente a divergência do fluxo de massa
é nula.
Passo 6
Consequência na equação do momento (exemplo com Navier–Stokes).
A forma geral (antes de assumir permanência) da equação do momento é, por exemplo,
A forma geral (antes de assumir permanência) da equação do momento é, por exemplo,
onde
é a viscosidade e
a aceleração da gravidade. Em escoamento permanente
, portanto a equação torna-se
Interpretação: as acelerações locais (derivada temporal) desaparecem; resta apenas a aceleração convectiva
.
Passo 7
Streamlines, pathlines e streaklines — o que muda com a permanência.
Definições rápidas:
Definições rápidas:
- Streamline: linha tangente ao campo de velocidade em um dado instante.
- Pathline: trajetória seguida por uma partícula ao longo do tempo.
- Streakline: linha formada por partículas que passaram por um mesmo ponto em instantes diferentes.
Importante: em escoamento permanente todas essas linhas coincidem: streamlines = pathlines = streaklines. Isso é útil na prova: se o escoamento é permanente, pode-se trabalhar com streamlines como trajetórias reais de partículas.
Passo 8
Exemplos simples (para fixar a ideia)
- Exemplo permanente simples: fluxo uniforme em 1D
com constante. Aqui , logo é permanente. - Exemplo permanente não espacialmente uniforme: Couette unidimensional entre placas com
onde é constante. Ainda é permanente porque não há dependência temporal. - Exemplo não permanente:
. Aqui , então não é permanente.
Dica prática: basta verificar
num ponto. Se for zero para todo
, o escoamento é permanente.
Passo 9
Como aplicar isso numa prova (passo a passo prático)
- Escreva o campo de interesse
, , . - Calcule
desses campos mantendo fixo. - Se todos esses derivados temporais forem zero em todo o domínio, declare o escoamento permanente.
- Use as formas reduzidas das equações (continuidade, momento, energia) substituindo
.
Resposta
Um escoamento é permanente (estacionário) se, para todo ponto
do domínio, as grandezas de campo não dependem do tempo, isto é, para qualquer campo escalar
e para o campo velocidade
vale