Pode existir uma transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{5} cuja imagem é todo \mathbb{R}^{5} ? Justifique e tente generalizar cada resultado.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^5 cuja imagem seja todo \mathbb{R}^5. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dimensão de núcleo e imagem e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

O teorema do posto-nulidade afirma que, para qualquer transformação linear T\colon V\to W, vale
\dim V \;=\;\dim(\ker T)\;+\;\dim(\operatorname{im}T).
Aqui \dim(\operatorname{im}T) é exatamente o posto de T, também chamado de \operatorname{rank}T.

Passo 3

No nosso caso, V=\mathbb{R}^4 tem dimensão 4. Se quiséssemos \operatorname{im}T=\mathbb{R}^5, teríamos que \dim(\operatorname{im}T)=5.

Passo 4

Mas pelo posto-nulidade
\operatorname{rank}T=\dim(\operatorname{im}T)\;\le\;\dim V=4,
ou seja, o posto nunca pode ultrapassar 4. Não dá para ter \dim(\operatorname{im}T)=5, logo não existe transformação linear surjetora de \mathbb{R}^4 em \mathbb{R}^5.

Passo 5

Generalizando, para T\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m é possível ter \operatorname{im}T=\mathbb{R}^m (ou seja, T é sobrejetora) somente se
\operatorname{rank}T=m \quad\text{e}\quad \operatorname{rank}T\le n,
ou seja, só acontece quando n\ge m. De forma dual, T é injetora se e somente se m\ge n.

Resposta

Não existe, pois pelo teorema do posto-nulidade temos \operatorname{rank}T\le4<5, impossibilitando \operatorname{im}T=\mathbb{R}^5.

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