Pode existir uma transformação linear
cuja imagem é todo
? Justifique e tente generalizar cada resultado.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
cuja imagem seja todo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dimensão de núcleo e imagem e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
O teorema do posto-nulidade afirma que, para qualquer transformação linear
, vale
Aqui
é exatamente o posto de
, também chamado de
.
Passo 3
No nosso caso,
tem dimensão
. Se quiséssemos
, teríamos que
.
Passo 4
Mas pelo posto-nulidade
ou seja, o posto nunca pode ultrapassar
. Não dá para ter
, logo não existe transformação linear surjetora de
em
.
Passo 5
Generalizando, para
é possível ter
(ou seja,
é sobrejetora) somente se
ou seja, só acontece quando
. De forma dual,
é injetora se e somente se
.
Resposta
Não existe, pois pelo teorema do posto-nulidade temos
, impossibilitando
.