Descreva explicitamente uma transformação linear T: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} tal que sua imagem seja o espaço gerado pelos vetores u=(2 i, 1,-3) e v=(0,-i, 1+i).

Passo 1

O enunciado pede que seja construído um operador linear \,T\colon\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3
cuja imagem seja exatamente \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{u,v\},
onde
u=(2i,\,1,\,-3),\qquad v=(0,\,-i,\,1+i).
Para isso, basta escolher imagens de uma base de \mathbb{C}^3 que gerem esse subespaço.

Passo 2

Seja a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{C}^3. Definimos
T(e_1)=u,\quad T(e_2)=v,\quad T(e_3)=0.
Pela linearidade, para todo (x,y,z)\in\mathbb{C}^3 temos
T(x,y,z) = x\,T(e_1)+y\,T(e_2)+z\,T(e_3) = x\,u+y\,v.
Escrevendo em coordenadas:
T(x,y,z) = x\,(2i,1,-3)+y\,(0,-i,1+i) = \bigl(2i\,x,\;x - i\,y,\;-3x+(1+i)\,y\bigr).
A matriz de T na base canônica é
[T] =\begin{pmatrix} 2i & 0 & 0\\\\ 1 & -i& 0\\\\ -3 &1+i& 0 \end{pmatrix},
cuja coluna 1 é u, coluna 2 é v e coluna 3 é zero.

Resposta

T(x,y,z)=\bigl(2i\,x,\;x - i\,y,\;-3x+(1+i)\,y\bigr).

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