Descreva explicitamente uma transformação linear T: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} tal que sua imagem seja o espaço gerado pelos vetores u=(2 i, 1,-3) e v=(0,-i, 1+i).
Passo 1
O enunciado pede que seja construído um operador linear \,T\colon\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3
cuja imagem seja exatamente \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{u,v\},
onde
u=(2i,\,1,\,-3),\qquad v=(0,\,-i,\,1+i).
Para isso, basta escolher imagens de uma base de \mathbb{C}^3 que gerem esse subespaço.
Passo 2
Seja a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{C}^3. Definimos
T(e_1)=u,\quad T(e_2)=v,\quad T(e_3)=0.
Pela linearidade, para todo (x,y,z)\in\mathbb{C}^3 temos