Pode haver uma transformação linear S: P3(R) M2 times 2(R) que seja não-injetora e com dim Im S=3 ?

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . Isso significa que leva polinômios de grau até 3 para matrizes . A pergunta é: será que existe essa transformação que não é injetora e que a dimensão da imagem de é 3? Vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como transformação linear, injetividade, e a Teoria do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões dos espaços envolvidos. O espaço é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 4 (porque temos os coeficientes de ).
Já o espaço é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. A dimensão desse espaço é 4 também (pois temos 4 entradas na matriz).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a transformação linear dim(Domínio) = dim(Núc<=o) + dim(Ima>=m) . Segundo o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem), temos que:
dim(P3(R)) = dim(Núc<=o(S)) + dim(Ima>=m(S)) íú
No nosso caso:
4 = dim(Núc<=o(S)) + 3 ú
Sabemos que e . Substituindo na equação:
ú

Passo 4

Resolvendo a equação acima para encontrar a dimensão do núcleo de dim(Núc<=o(S)) = 4 - 3 = 1 :
ú
Isso significa que o núcleo de tem dimensão 1. Ou seja, existe pelo menos um vetor (no caso, um polinômio) que é mapeado para a matriz nula por .

Passo 5

Agora, vamos entender o que isso significa para a injetividade de . Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero. Como vimos que ú, isso indica que existem vetores diferentes de zero que são mapeados para a matriz nula. Portanto, não é injetora.

Resposta

Sim, existe uma transformação linear que não é injetora e que a dimensão da sua imagem é 3.

Exercícios relacionados