Pode haver uma transformação linear
que seja não-injetora e com
?
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. Isso significa que
leva polinômios de grau até 3 para matrizes
. A pergunta é: será que existe essa transformação
que não é injetora e que a dimensão da imagem de
é 3? Vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como transformação linear, injetividade, e a Teoria do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das dimensões dos espaços envolvidos. O espaço
é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A dimensão desse espaço é 4 (porque temos os coeficientes de
).
Já o espaço
é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. A dimensão desse espaço é 4 também (pois temos 4 entradas na matriz).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a transformação linear
. Segundo o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem), temos que:
No nosso caso:
Sabemos que
e
. Substituindo na equação:
Passo 4
Resolvendo a equação acima para encontrar a dimensão do núcleo de
:
Isso significa que o núcleo de
tem dimensão 1. Ou seja, existe pelo menos um vetor (no caso, um polinômio) que é mapeado para a matriz nula por
.
Passo 5
Agora, vamos entender o que isso significa para a injetividade de
. Uma transformação linear é injetora se e somente se o seu núcleo contém apenas o vetor zero. Como vimos que
, isso indica que existem vetores diferentes de zero que são mapeados para a matriz nula. Portanto,
não é injetora.
Resposta
Sim, existe uma transformação linear
que não é injetora e que a dimensão da sua imagem é 3.