O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{2}=I

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de ordem n\times n tal que
A^{2}=I.
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det}\operatorname{det}(A) (ou seja, sobre o determinante aplicado ao valor \operatorname{det}(A)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A é quadrada n\times n.
  • \,A^{2}=I (a matriz identidade).
  • Quer-se uma informação sobre \operatorname{det}\operatorname{det}(A).

Passo 2

Lembrete sobre determinantes que vamos usar (explicando bem devagar, como se estivéssemos no quadro):
  • A função determinante associa a cada matriz quadrada um número (um escalar). Para uma matriz quadrada M escrevemos \det(M).
  • Propriedade multiplicativa fundamental: para duas matrizes quadradas compatíveis vale
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.
Isto significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
  • O determinante da matriz identidade vale
\det(I)=1.
Isso decorre das propriedades da identidade (transfere vetores sem mudar volume orientado).

Passo 3

Aplicando a propriedade multiplicativa à igualdade dada A^{2}=I:
\det(A^{2})=\det(I).
Pelo item anterior isso vira
\det(A)^{2}=\;1.
Agora resolvemos a equação escalar \det(A)^{2}=1. As soluções reais dessa equação são
\det(A)=1\quad\text{ou}\quad\det(A)=-1.
Portanto o determinante de A só pode assumir os valores \pm 1.

Passo 4

Explicar o significado de \operatorname{det}\operatorname{det}(A): \det(A) é um número (escala). Se interpretarmos a operação \det aplicada a um número, o modo natural é ver esse número como a única entrada de uma matriz 1\times 1, isto é, considerar a matriz [\det(A)]. Para uma matriz 1\times 1 temos
\det\bigl([\det(A)]\bigr)=\det(A),
pois o determinante de uma matriz 1\times 1 [s] é exatamente s. Assim
\operatorname{det}\operatorname{det}(A)=\det(\,[\det(A)]\,)=\det(A).

Passo 5

Exemplos para fixar a intuição e ver que os dois sinais realmente aparecem:
  • Tomando A=I temos A^{2}=I e \det(A)=1.
  • Tomando A=-I temos A^{2}=(-I)^{2}=I e \det(A)=\det(-I)=(-1)^{n}, que é 1 se n for par e -1 se n for ímpar; ainda assim é sempre \pm 1.
  • Um exemplo com n=2: A=\operatorname{diag}(1,-1) satisfaz A^{2}=I e \det(A)=-1.
Esses exemplos mostram que ambos os valores 1 e -1 são possíveis, dependendo da matriz (e em alguns casos do n), mas nunca surge outro número.

Passo 6

Juntando tudo: \det(A) satisfaz \det(A)^{2}=1, logo \det(A)\in\{-1,1\}. E como \operatorname{det}\operatorname{det}(A)=\det(A) (por causa da interpretação do determinante de um escalar como determinante da matriz 1\times1), conclui-se que \operatorname{det}\operatorname{det}(A) também vale \pm 1.

Resposta

\operatorname{det}\operatorname{det}(A)=\det(A)\in\{-1,1\}

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