O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
de ordem
tal que
A pergunta é: o que pode ser dito sobre o valor
(ou seja, sobre o determinante aplicado ao valor
).
Informações relevantes fornecidas:
-
é quadrada . -
(a matriz identidade). - Quer-se uma informação sobre
.
Passo 2
Lembrete sobre determinantes que vamos usar (explicando bem devagar, como se estivéssemos no quadro):
- A função determinante associa a cada matriz quadrada um número (um escalar). Para uma matriz quadrada
escrevemos . - Propriedade multiplicativa fundamental: para duas matrizes quadradas compatíveis vale
Isto significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
- O determinante da matriz identidade vale
Isso decorre das propriedades da identidade (transfere vetores sem mudar volume orientado).
Passo 3
Aplicando a propriedade multiplicativa à igualdade dada
:
Pelo item anterior isso vira
Agora resolvemos a equação escalar
. As soluções reais dessa equação são
Portanto o determinante de
só pode assumir os valores
.
Passo 4
Explicar o significado de
:
é um número (escala). Se interpretarmos a operação
aplicada a um número, o modo natural é ver esse número como a única entrada de uma matriz
, isto é, considerar a matriz
. Para uma matriz
temos
pois o determinante de uma matriz
é exatamente
. Assim
Passo 5
Exemplos para fixar a intuição e ver que os dois sinais realmente aparecem:
- Tomando
temos e . - Tomando
temos e , que é se for par e se for ímpar; ainda assim é sempre . - Um exemplo com
: satisfaz e .
Esses exemplos mostram que ambos os valores
e
são possíveis, dependendo da matriz (e em alguns casos do
), mas nunca surge outro número.
Passo 6
Juntando tudo:
satisfaz
, logo
. E como
(por causa da interpretação do determinante de um escalar como determinante da matriz
), conclui-se que
também vale
.