Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens, A, B e C são matrizes quadradas.
\operatorname{det}(-A)=-\operatorname{det}(A).

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz quadrada (suponha de ordem n). A afirmação a ser verificada é
\det(-A) = -\det(A).
O pedido é: demonstrar que a afirmação é verdadeira em todos os casos, ou então apresentar um exemplo que mostre que ela é falsa. Vou usar apenas as informações dadas (que A é quadrada de ordem n).

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade básica e muito útil do determinante (aqui explicada de forma concreta). O determinante é uma função multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, em particular, que se multiplicarmos uma única linha da matriz por um escalar \lambda, o determinante dessa nova matriz será \lambda vezes o determinante original.
Exemplo simples para fixar a ideia (caso 2\times2): seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então \det(A)=ad-bc. Se multiplicamos a primeira linha por \lambda, obtemos
\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\\ c & d\end{pmatrix},
cujo determinante é \lambda ad-\lambda bc=\lambda(ad-bc)=\lambda\det(A).
Isso mostra concretamente, no caso 2\times2, que multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda. A mesma ideia vale para qualquer ordem n: multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda.

Passo 3

Agora aplique essa propriedade a todas as n linhas ao mesmo tempo. Multiplicar a matriz A por um escalar \lambda equivale a multiplicar cada linha por \lambda. Como cada multiplicação de linha introduz um fator \lambda no determinante e são n linhas, obtemos a fórmula geral
\det(\lambda A)=\lambda^{n}\det(A).
Esta é a propriedade que vamos usar diretamente com \lambda=-1.

Passo 4

Escolhendo \lambda=-1 na fórmula anterior, obtemos
\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).
Esse é o resultado exato e demonstra a dependência do sinal em função da ordem n da matriz.
Interprete agora esse resultado:
  • Se n é ímpar então (-1)^{n}=-1, portanto \det(-A)=-\det(A) para qualquer A de ordem ímpar. Nesse caso a afirmação do enunciado é verdadeira.
  • Se n é par então (-1)^{n}=1, portanto \det(-A)=\det(A) para qualquer A de ordem par. Nesse caso a igualdade \det(-A)=-\det(A) só ocorreria se \det(A)=0; em geral, para matrizes de ordem par a afirmação é falsa.

Passo 5

Para fechar, dou um contraexemplo simples que mostra que a afirmação é falsa em geral (isto é, sem especificar n). Tome n=2 e
A=I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcula-se
\det(A)=1 \qquad\text{e}\qquad \det(-A)=\det(-I_{2})=\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=(-1)^{2}\det(I_{2})=1.
Logo \det(-A)=1 enquanto -\det(A)=-1; portanto \det(-A)\neq -\det(A) neste exemplo. Isso prova que a afirmação original é falsa em geral.]

Resposta

A afirmação é falsa em geral. Em dimensão n vale \det(-A)=(-1)^{n}\det(A); portanto \det(-A)=-\det(A) ocorre para todo A exatamente quando n é ímpar (ou trivialmente quando \det(A)=0).
Contraexemplo: A=I_{2} \det(-A)=1\neq-1=-\det(A).

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