Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os ítens,
e
são matrizes quadradas.
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada (suponha de ordem
). A afirmação a ser verificada é
O pedido é: demonstrar que a afirmação é verdadeira em todos os casos, ou então apresentar um exemplo que mostre que ela é falsa. Vou usar apenas as informações dadas (que
é quadrada de ordem
).
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade básica e muito útil do determinante (aqui explicada de forma concreta). O determinante é uma função multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, em particular, que se multiplicarmos uma única linha da matriz por um escalar
, o determinante dessa nova matriz será
vezes o determinante original.
Exemplo simples para fixar a ideia (caso
): seja
então
. Se multiplicamos a primeira linha por
, obtemos
cujo determinante é
.
Isso mostra concretamente, no caso , que multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
. A mesma ideia vale para qualquer ordem
: multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
.
Isso mostra concretamente, no caso
Passo 3
Agora aplique essa propriedade a todas as
linhas ao mesmo tempo. Multiplicar a matriz
por um escalar
equivale a multiplicar cada linha por
. Como cada multiplicação de linha introduz um fator
no determinante e são
linhas, obtemos a fórmula geral
Esta é a propriedade que vamos usar diretamente com
.
Passo 4
Escolhendo
na fórmula anterior, obtemos
Esse é o resultado exato e demonstra a dependência do sinal em função da ordem
da matriz.
Interprete agora esse resultado:
- Se
é ímpar então , portanto para qualquer de ordem ímpar. Nesse caso a afirmação do enunciado é verdadeira. - Se
é par então , portanto para qualquer de ordem par. Nesse caso a igualdade só ocorreria se ; em geral, para matrizes de ordem par a afirmação é falsa.
Passo 5
Para fechar, dou um contraexemplo simples que mostra que a afirmação é falsa em geral (isto é, sem especificar
). Tome
e
Calcula-se
Logo
enquanto
; portanto
neste exemplo. Isso prova que a afirmação original é falsa em geral.]
Resposta
A afirmação é falsa em geral. Em dimensão
vale
; portanto
ocorre para todo
exatamente quando
é ímpar (ou trivialmente quando
).
Contraexemplo: dá
.
Contraexemplo: