O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{3}=I

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz n\times n e que
A^{3}=I.
A pergunta é o que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det}\operatorname{det}(A). Informações relevantes fornecidas:
  • A é quadrada de ordem n.
  • A^{3}=I.
  • A expressão escrita é \operatorname{det}\operatorname{det}(A) (isso será comentado mais adiante: \operatorname{det}(A) é um escalar).

Passo 2

Vamos lembrar e justificar propriedades básicas do determinante que usaremos (explicando com calma).
  • Propriedade multiplicativa: para duas matrizes quadradas X e Y da mesma ordem vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}(X)\,\operatorname{det}(Y).
O motivo intuitivo: o determinante mede o fator de escala do volume quando se aplica a transformação linear representada pela matriz; aplicar X e depois Y escala por \det X e depois por \det Y, logo o fator total é o produto. Formalmente essa propriedade é demonstrada nos cursos de álgebra linear (pode ser provada por fatoração LU, por propriedades de permutações na definição por soma, ou por argumentos sobre valores próprios quando a diagonalização é possível).
  • Consequência para potências: pela propriedade multiplicativa, para qualquer inteiro positivo k obtemos por indução
\operatorname{det}\bigl(A^{k}\bigr)=\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{k}.
Explicando a indução rapidamente: para k=1 é trivial; supondo verdadeiro para k, então
\operatorname{det}(A^{k+1})=\operatorname{det}(A^{k}A)=\operatorname{det}(A^{k})\operatorname{det}(A)=(\operatorname{det}(A))^{k+1}.
  • Determinante da identidade: a matriz identidade I tem determinante igual a 1, porque ela preserva volumes sem alterar tamanho.

Passo 3

Agora aplicamos essas propriedades ao dado A^{3}=I.
Tomando determinante em ambos os lados e usando as propriedades do passo anterior:
\operatorname{det}\bigl(A^{3}\bigr)=\operatorname{det}(I).
Pelo que vimos,
\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{3}=1.
Portanto \operatorname{det}(A) é uma raiz cúbica da unidade.

Passo 4

Lista explícita das possibilidades e comentários sobre o campo dos coeficientes:
  • Se estamos trabalhando sobre os números complexos, as raízes cúbicas de 1 são
1,\quad \omega=e^{2\pi i/3},\quad \omega^{2}=e^{4\pi i/3},
logo
\operatorname{det}(A)\in\{1,\omega,\omega^{2}\}.
  • Se A tem entradas reais (caso mais comum nas aplicações), então \operatorname{det}(A) é um número real. Das três raízes cúbicas de 1 acima, a única real é 1. Assim, para matrizes reais necessariamente
\operatorname{det}(A)=1.

Passo 5

Sobre a expressão literal \operatorname{det}\operatorname{det}(A): \operatorname{det}(A) é um escalar (um número). O operador \operatorname{det} é definido para matrizes; tomar o determinante de um escalar pode ser interpretado como tomar o determinante de uma matriz 1\times 1 cujo único elemento é \operatorname{det}(A). O determinante de uma matriz 1\times 1 [x] é simplesmente x. Portanto, interpretando literalmente,
\operatorname{det}\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)=\operatorname{det}(A).
Ou seja, aplicar \operatorname{det} duas vezes é redundante: o valor final é apenas \operatorname{det}(A), que já satisfaz \bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{3}=1.

Resposta

\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)^{3}=1, logo \operatorname{det}(A) é uma raiz cúbica da unidade.
Se A for com entradas complexas, \operatorname{det}(A)\in\{1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}\}.
Se A for com entradas reais, \operatorname{det}(A)=1.
Além disso, \operatorname{det}\bigl(\operatorname{det}(A)\bigr)=\operatorname{det}(A).

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