O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz
e que
A pergunta é o que pode ser dito sobre o valor
. Informações relevantes fornecidas:
-
é quadrada de ordem . -
. - A expressão escrita é
(isso será comentado mais adiante: é um escalar).
Passo 2
Vamos lembrar e justificar propriedades básicas do determinante que usaremos (explicando com calma).
- Propriedade multiplicativa: para duas matrizes quadradas
e da mesma ordem vale
O motivo intuitivo: o determinante mede o fator de escala do volume quando se aplica a transformação linear representada pela matriz; aplicar
e depois
escala por
e depois por
, logo o fator total é o produto. Formalmente essa propriedade é demonstrada nos cursos de álgebra linear (pode ser provada por fatoração LU, por propriedades de permutações na definição por soma, ou por argumentos sobre valores próprios quando a diagonalização é possível).
- Consequência para potências: pela propriedade multiplicativa, para qualquer inteiro positivo
obtemos por indução
Explicando a indução rapidamente: para
é trivial; supondo verdadeiro para
, então
- Determinante da identidade: a matriz identidade
tem determinante igual a , porque ela preserva volumes sem alterar tamanho.
Passo 3
Agora aplicamos essas propriedades ao dado
.
Tomando determinante em ambos os lados e usando as propriedades do passo anterior:
Tomando determinante em ambos os lados e usando as propriedades do passo anterior:
Pelo que vimos,
Portanto
é uma raiz cúbica da unidade.
Passo 4
Lista explícita das possibilidades e comentários sobre o campo dos coeficientes:
- Se estamos trabalhando sobre os números complexos, as raízes cúbicas de
são
logo
- Se
tem entradas reais (caso mais comum nas aplicações), então é um número real. Das três raízes cúbicas de acima, a única real é . Assim, para matrizes reais necessariamente
Passo 5
Sobre a expressão literal
:
é um escalar (um número). O operador
é definido para matrizes; tomar o determinante de um escalar pode ser interpretado como tomar o determinante de uma matriz
cujo único elemento é
. O determinante de uma matriz
é simplesmente
. Portanto, interpretando literalmente,
Ou seja, aplicar
duas vezes é redundante: o valor final é apenas
, que já satisfaz
.
Resposta
Se
Se
Além disso,