O que pode ser dito sobre o valor
, sabendo-se que
é uma matriz
tal que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de ordem
(ou seja,
é
) e a relação
onde
é a matriz identidade
. A pergunta escrita foi sobre o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
satisfaz (isso vem diretamente de ). - Queremos concluir algo sobre o determinante associado a
.
(O enunciado usa a notação
; vou trabalhar com a propriedade do determinante de
que é a informação útil aqui: isto nos levará a uma relação para
.)
Passo 2
Lembrete sobre propriedades do determinante que vamos usar (explicando devagar):
- Para duas matrizes compatíveis
e vale a propriedade multiplicativa
Isto significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes. É uma propriedade padrão do determinante e é usada o tempo todo em provas e cálculos.
- Para a matriz identidade
de ordem e um escalar vale
porque
é a matriz diagonal com todos os elementos da diagonal iguais a
, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal (aí vem
).
Vou aplicar essas duas propriedades à relação
.
Passo 3
Da equação dada podemos escrever explicitamente
Aplicando o determinante em ambos os lados (isto é válido porque a igualdade entre matrizes implica igualdade entre seus determinantes), obtemos
Agora use a propriedade multiplicativa para o lado esquerdo:
Para o lado direito, use a propriedade do escalar multiplicando a identidade:
Portanto juntando,
Passo 4
A equação
é a relação chave. Vamos interpretá‑la dependendo do corpo (reais ou complexos) e do paridade de
.
- Em termos gerais (sobre
, o corpo complexo), ela diz que é uma raiz quadrada de . As raízes quadradas de são , e como obtemos
Isto resume todas as possibilidades complexas em uma forma compacta.
- Se trabalhamos sobre os reais (
com entradas reais), há restrições adicionais porque é então um número real. Observe: - Se
é ímpar, então . A equação não tem solução real, porque um quadrado real nunca é negativo. Conclusão: não existe matriz real satisfazendo quando é ímpar. - Se
é par, então e temos , ou seja como equação numérica. Porém, para matrizes reais há um argumento extra que força (não apenas ): as autovalores de uma matriz real aparecem em pares complexos conjugados; aqui os autovalores são raízes de , ou seja . Em uma matriz real, o número de autovalores é igual ao número de autovalores , portanto o produto de todos os autovalores (que é ) é
onde . Assim, para real e par necessariamente . - Se
Passo 5
Exemplos curtos para fixar a intuição:
- Para
a relação seria com , impossível em . Em dá , mas não existe matriz real com essa propriedade. - Para
existe uma matriz real que satisfaz , por exemplo
que é a rotação de
. Para essa matriz
e de fato
.]
Resposta
Portanto, sobre
Se