O que pode ser dito sobre o valor \operatorname{det} \operatorname{det}(A), sabendo-se que A é uma matriz n \times n tal que
A^{2}+I=0

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de ordem n (ou seja, A é n\times n) e a relação
A^{2}+I=0,
onde I é a matriz identidade n\times n. A pergunta escrita foi sobre o valor de \operatorname{det}\operatorname{det}(A).
Informações relevantes fornecidas:
  • A satisfaz A^{2}=-I (isso vem diretamente de A^{2}+I=0).
  • Queremos concluir algo sobre o determinante associado a A.
(O enunciado usa a notação \operatorname{det}\operatorname{det}(A); vou trabalhar com a propriedade do determinante de A que é a informação útil aqui: isto nos levará a uma relação para \det(A).)

Passo 2

Lembrete sobre propriedades do determinante que vamos usar (explicando devagar):
  • Para duas matrizes compatíveis B e C vale a propriedade multiplicativa
\det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}.
Isto significa que o determinante de um produto é o produto dos determinantes. É uma propriedade padrão do determinante e é usada o tempo todo em provas e cálculos.
  • Para a matriz identidade I de ordem n e um escalar c vale
\det(cI)=c^{n},
porque cI é a matriz diagonal com todos os elementos da diagonal iguais a c, e o determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal (aí vem c\cdot c\cdot\ldots\cdot c = c^{n}).
Vou aplicar essas duas propriedades à relação A^{2}=-I.

Passo 3

Da equação dada podemos escrever explicitamente
A^{2}=-I.
Aplicando o determinante em ambos os lados (isto é válido porque a igualdade entre matrizes implica igualdade entre seus determinantes), obtemos
\det(A^{2})=\det(-I).
Agora use a propriedade multiplicativa para o lado esquerdo:
\det(A^{2})=\det(A\cdot A)=\det(A)\det(A)=\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.
Para o lado direito, use a propriedade do escalar multiplicando a identidade:
\det(-I)=(-1)^{n}.
Portanto juntando,
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}=(-1)^{n}.

Passo 4

A equação
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}=(-1)^{n}
é a relação chave. Vamos interpretá‑la dependendo do corpo (reais ou complexos) e do paridade de n.
  • Em termos gerais (sobre \mathbb{C}, o corpo complexo), ela diz que \det(A) é uma raiz quadrada de (-1)^{n}. As raízes quadradas de (-1)^{n} são \pm e^{i\pi n/2}, e como e^{i\pi/2}=i obtemos
\det(A)=\pm i^{n}.
Isto resume todas as possibilidades complexas em uma forma compacta.
  • Se trabalhamos sobre os reais ( A com entradas reais), há restrições adicionais porque \det(A) é então um número real. Observe:
    • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1. A equação \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=-1 não tem solução real, porque um quadrado real nunca é negativo. Conclusão: não existe matriz real A satisfazendo A^{2}=-I quando n é ímpar.
    • Se n é par, então (-1)^{n}=1 e temos \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=1, ou seja \det(A)=\pm 1 como equação numérica. Porém, para matrizes reais há um argumento extra que força \det(A)=1 (não apenas \pm1): as autovalores de uma matriz real aparecem em pares complexos conjugados; aqui os autovalores são raízes de \lambda^{2}+1=0, ou seja \lambda=\pm i. Em uma matriz real, o número de autovalores i é igual ao número de autovalores -i, portanto o produto de todos os autovalores (que é \det(A)) é
    i^{k}(-i)^{k}=(i\cdot -i)^{k}=1^{k}=1,onde k=n/2. Assim, para A real e n par necessariamente \det(A)=1.

Passo 5

Exemplos curtos para fixar a intuição:
  • Para n=1 a relação seria a^{2}=-1 com a=\det(A), impossível em \mathbb{R}. Em \mathbb{C} a=\pm i, mas não existe matriz 1\times1 real com essa propriedade.
  • Para n=2 existe uma matriz real que satisfaz A^{2}=-I, por exemplo
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que é a rotação de 90^\circ. Para essa matriz \det(A)=1 e de fato \det(A)^{2}=1=(-1)^{2}.]

Resposta

\displaystyle \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=(-1)^{n}.
Portanto, sobre \mathbb{C}: \displaystyle \det(A)=\pm i^{n}.
Se A tem entradas reais então: se n é ímpar não existe tal A; se n é par então \displaystyle \det(A)=1.

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