Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração. Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y, e então em relação a z, obtemos:
\iiint_{B} x y z^{2} d V=\int_{0}^{3} \int_{-1}^{2} \int_{0}^{1} x y z^{2} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} x y z^{2}\,dV
no paralelepípedo B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\,-1\le y\le 2,\,0\le z\le 3\}, usando a ordem de integração dx\,dy\,dz. Vamos aplicar o Teorema de Fubini, que permite separar as integrais num produto iterado sobre um domínio retangular.

Passo 2

Começamos integrando em x, mantendo y e z fixos:
\int_{0}^{1} x y z^2\,dx = y\,z^2 \int_{0}^{1} x\,dx = y\,z^2 \biggl[\tfrac{x^{2}}{2}\biggr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\,y\,z^2.

Passo 3

Agora integramos em y o resultado do passo anterior, com z ainda fixo:
\int_{-1}^{2} \tfrac{1}{2}\,y\,z^2\,dy = \tfrac{1}{2}\,z^2 \int_{-1}^{2} y\,dy = \tfrac{1}{2}\,z^2 \bigl[\tfrac{y^2}{2}\bigr]_{-1}^{2} = \tfrac{1}{2}\,z^2 \cdot \tfrac{4-1}{2} = \tfrac{3}{4}\,z^2.

Passo 4

Por fim, integramos em z:
\int_{0}^{3} \tfrac{3}{4}\,z^2\,dz = \tfrac{3}{4} \int_{0}^{3} z^2\,dz = \tfrac{3}{4} \bigl[\tfrac{z^3}{3}\bigr]_{0}^{3} = \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{27}{3} = \tfrac{3}{4} \cdot 9 = \tfrac{27}{4}.

Resposta

\iiint_{B} x y z^{2}\,dV = \tfrac{27}{4}.

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