Exercício 49
\int_{1}^{2} \int_{0}^{2 x} \int_{0}^{\ln x} x e^{-y} d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo
\int_{x=1}^{2}\int_{z=0}^{2x}\int_{y=0}^{\ln x} x\,e^{-y}\;dy\;dz\;dx.
O conteúdo envolvido é a aplicação do Teorema de Fubini para integrais iteradas e o cálculo de antiderivadas exponenciais.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a integral interna em y:
\int_{y=0}^{\ln x} x\,e^{-y}\;dy.
Como x é tratado como constante em relação a y, temos
\int_{0}^{\ln x} x\,e^{-y}\;dy = x\int_{0}^{\ln x} e^{-y}\;dy = x\Bigl[-e^{-y}\Bigr]_{0}^{\ln x} = x\bigl(-e^{-\ln x} + e^{0}\bigr) = x\bigl(-\tfrac1{x} +1\bigr) = x - 1.

Passo 3

Substituindo no integral em z, que tem integrando x-1 independente de z:
\int_{z=0}^{2x}(x-1)\;dz =(x-1)\Bigl[z\Bigr]_{0}^{2x} =(x-1)\,(2x) =2x^{2}-2x.

Passo 4

Agora integramos em x de 1 a 2:
\int_{x=1}^{2}\bigl(2x^{2}-2x\bigr)\;dx =2\int_{1}^{2}x^{2}\;dx \;-\;2\int_{1}^{2}x\;dx =2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2}\;-\;2\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{2}.
Calculando cada termo,
2\Bigl(\tfrac{2^{3}}{3}-\tfrac{1^{3}}{3}\Bigr) -2\Bigl(\tfrac{2^{2}}{2}-\tfrac{1^{2}}{2}\Bigr) =2\Bigl(\tfrac{8-1}{3}\Bigr) -2\Bigl(\tfrac{4-1}{2}\Bigr) =2\cdot\tfrac{7}{3}-2\cdot\tfrac{3}{2} =\tfrac{14}{3}-3 =\tfrac{14-9}{3} =\tfrac{5}{3}.

Resposta

\frac{5}{3}.

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