1. Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o número de faces de um poliedro convexo, sabendo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.
Informações dadas (lista clara):
  • O poliedro é convexo.
  • O número de vértices será denotado por V.
  • O número de arestas será denotado por E.
  • O número de faces será denotado por F.
  • Foi dado que o número de arestas excede o número de vértices em 6, ou seja, E = V + 6.
    A pergunta é: qual é o valor de F?

Passo 2

Vamos definir bem o que significam as letras que usamos (para não ficar confuso na prova):
  • V é a quantidade de vértices do poliedro (pontos onde se encontram arestas).
  • E é a quantidade de arestas (segmentos que ligam vértices).
  • F é a quantidade de faces (cada polígono plano que compõe a superfície).
    É importante ter esses significados claros para aplicar a fórmula correta.

Passo 3

Apresento a fórmula que relaciona V, E e F para qualquer poliedro convexo (fórmula clássica que você deve memorizar e usar na prova):
V - E + F = 2.
Explicando: essa relação é conhecida como fórmula de Euler para poliedros convexos. Ela diz que se você pegar o número de vértices, subtrair o número de arestas e somar o número de faces, sempre obterá 2. Por exemplo, para um cubo temos V=8, E=12, F=6 e realmente
8 - 12 + 6 = 2.
Isso serve como verificação de que a fórmula é razoável.

Passo 4

Agora vamos usar a informação dada no enunciado que traduzimos para a relação
E = V + 6.
Vou substituir essa expressão na fórmula de Euler para eliminar E e obter uma relação entre V e F.

Passo 5

Substituindo E = V + 6 em \;V - E + F = 2\; obtemos:
V - (V + 6) + F = 2.
Agora desenvolvo o parêntese passo a passo:
V - V - 6 + F = 2.
As parcelas V - V se cancelam (porque V - V = 0), sobrando
-6 + F = 2.

Passo 6

Isolando F na equação -6 + F = 2, somamos 6 em ambos os lados:
F = 2 + 6 = 8.
Portanto o número de faces é 8. Faz sentido: F é um inteiro positivo e saiu um valor inteiro, compatível com poliedros reais.

Resposta

\,8\,

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