- Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o número de faces de um poliedro convexo, sabendo que o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades.
Informações dadas (lista clara):
Informações dadas (lista clara):
- O poliedro é convexo.
- O número de vértices será denotado por
. - O número de arestas será denotado por
. - O número de faces será denotado por
. - Foi dado que o número de arestas excede o número de vértices em
, ou seja, .
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Vamos definir bem o que significam as letras que usamos (para não ficar confuso na prova):
-
é a quantidade de vértices do poliedro (pontos onde se encontram arestas). -
é a quantidade de arestas (segmentos que ligam vértices). -
é a quantidade de faces (cada polígono plano que compõe a superfície).
É importante ter esses significados claros para aplicar a fórmula correta.
Passo 3
Apresento a fórmula que relaciona
,
e
para qualquer poliedro convexo (fórmula clássica que você deve memorizar e usar na prova):
Explicando: essa relação é conhecida como fórmula de Euler para poliedros convexos. Ela diz que se você pegar o número de vértices, subtrair o número de arestas e somar o número de faces, sempre obterá
. Por exemplo, para um cubo temos
,
,
e realmente
Isso serve como verificação de que a fórmula é razoável.
Passo 4
Agora vamos usar a informação dada no enunciado que traduzimos para a relação
Vou substituir essa expressão na fórmula de Euler para eliminar
e obter uma relação entre
e
.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos:
Agora desenvolvo o parêntese passo a passo:
As parcelas
se cancelam (porque
), sobrando
Passo 6
Isolando
na equação
, somamos
em ambos os lados:
Portanto o número de faces é
. Faz sentido:
é um inteiro positivo e saiu um valor inteiro, compatível com poliedros reais.