- Calcule o número de faces triangulares e quadrangulares do poliedro convexo no qual a soma das medidas dos ângulos internos é igual a
e o número de faces triangulares é igual ao dobro do número de faces quadrangulares.
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo e fornece as seguintes informações:
- A soma das medidas dos ângulos internos das faces é
. - O número de faces triangulares é igual ao dobro do número de faces quadrangulares.
As perguntas implícitas são: - Quantas faces triangulares existem?
- Quantas faces quadrangulares existem?
Definições de variáveis que vamos usar (aqui só identifico, sem resolver ainda):
-
= número de faces triangulares. -
= número de faces quadrangulares.
Além disso, assumimos que todas as faces do poliedro são ou triângulos ou quadriláteros (pois o enunciado só menciona esses dois tipos).
Passo 2
Preciso de uma fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. Regra chave:
- A soma dos ângulos internos de um polígono com
lados é .
Explicação didática dessa fórmula (por que ela vale):
- Um polígono convexo de
lados pode ser dividido em triângulos ao traçar diagonais a partir de um vértice. - Cada triângulo tem soma de ângulos igual a
. - Logo, somando os ângulos desses
triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono: .
Aplicando para os dois tipos de faces que nos interessam:
- Para um triângulo (
): soma dos ângulos internos é . - Para um quadrilátero (
): soma dos ângulos internos é .
Passo 3
Agora vamos escrever a soma total das medidas dos ângulos internos de todas as faces em função de
e
.
Cada face triangular contribui com
.
Cada face quadrangular contribui com .
Cada face quadrangular contribui com
Portanto a soma total
é
No enunciado foi dado que
, então temos
Passo 4
Usamos a relação entre
e
fornecida pelo enunciado: o número de faces triangulares é o dobro do número de faces quadrangulares. Em símbolos:
Substituímos essa relação na equação da soma:
Passo 5
Fazendo a conta passo a passo:
então a equação vira
Somando os termos à esquerda:
Agora isolamos
:
Passo 6
Calculando a divisão:
pois
.
Logo
Passo 7
Encontramos
usando
:
Fazemos uma checagem rápida da soma total:
que coincide com o dado do enunciado. Tudo certo!