1. Calcule o número de faces triangulares e quadrangulares do poliedro convexo no qual a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 6480^{\circ} e o número de faces triangulares é igual ao dobro do número de faces quadrangulares.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo e fornece as seguintes informações:
  • A soma das medidas dos ângulos internos das faces é \,6480^\circ.
  • O número de faces triangulares é igual ao dobro do número de faces quadrangulares.
    As perguntas implícitas são:
  • Quantas faces triangulares existem?
  • Quantas faces quadrangulares existem?
Definições de variáveis que vamos usar (aqui só identifico, sem resolver ainda):
  • \,T = número de faces triangulares.
  • \,Q = número de faces quadrangulares.
    Além disso, assumimos que todas as faces do poliedro são ou triângulos ou quadriláteros (pois o enunciado só menciona esses dois tipos).

Passo 2

Preciso de uma fórmula para a soma dos ângulos internos de um polígono. Regra chave:
  • A soma dos ângulos internos de um polígono com k lados é \,(k-2)\cdot180^\circ.
Explicação didática dessa fórmula (por que ela vale):
  • Um polígono convexo de k lados pode ser dividido em k-2 triângulos ao traçar diagonais a partir de um vértice.
  • Cada triângulo tem soma de ângulos igual a 180^\circ.
  • Logo, somando os ângulos desses k-2 triângulos obtemos a soma dos ângulos internos do polígono: (k-2)\cdot180^\circ.
Aplicando para os dois tipos de faces que nos interessam:
  • Para um triângulo ( k=3): soma dos ângulos internos é (3-2)\cdot180^\circ=180^\circ.
  • Para um quadrilátero ( k=4): soma dos ângulos internos é (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ.

Passo 3

Agora vamos escrever a soma total das medidas dos ângulos internos de todas as faces em função de \,T e \,Q.
Cada face triangular contribui com 180^\circ.
Cada face quadrangular contribui com 360^\circ.
Portanto a soma total S é
S = 180^\circ\cdot T + 360^\circ\cdot Q.
No enunciado foi dado que S=6480^\circ, então temos
180T + 360Q = 6480.

Passo 4

Usamos a relação entre T e Q fornecida pelo enunciado: o número de faces triangulares é o dobro do número de faces quadrangulares. Em símbolos:
T = 2Q.
Substituímos essa relação na equação da soma:
180(2Q) + 360Q = 6480.

Passo 5

Fazendo a conta passo a passo:
180(2Q) = 360Q,
então a equação vira
360Q + 360Q = 6480.
Somando os termos à esquerda:
720Q = 6480.
Agora isolamos Q:
Q = \frac{6480}{720}.

Passo 6

Calculando a divisão:
\frac{6480}{720} = 9,
pois 720\cdot 9 = 6480.
Logo
Q = 9.

Passo 7

Encontramos T usando T=2Q:
T = 2\cdot 9 = 18.
Fazemos uma checagem rápida da soma total:
180\cdot 18 + 360\cdot 9 = 3240 + 3240 = 6480^\circ,
que coincide com o dado do enunciado. Tudo certo!

Resposta

T=18
Q=9

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