Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face é pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado dá um poliedro convexo com
vértices, em que o número de faces triangulares é igual ao de faces quadrangulares e há exatamente uma face pentagonal. Queremos achar o número total de faces
. Para isso vamos usar a fórmula de Euler e a contagem de arestas pelo somatório dos lados das faces.
Passo 2
Seja
o número de faces triangulares,
o número de faces quadrangulares e
a face pentagonal. Como
, chamo
. O total de faces é
Passo 3
Cada face de
lados contribui com
arestas, mas cada aresta é contada em duas faces. Logo
e portanto
Passo 4
Pela fórmula de Euler para poliedros convexos temos
Substituindo
e
, fica
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Com
, o total de faces é
Resposta
O poliedro tem 11 faces.