Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face é pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro convexo com V=11 vértices, em que o número de faces triangulares é igual ao de faces quadrangulares e há exatamente uma face pentagonal. Queremos achar o número total de faces F. Para isso vamos usar a fórmula de Euler e a contagem de arestas pelo somatório dos lados das faces.

Passo 2

Seja F_3 o número de faces triangulares, F_4 o número de faces quadrangulares e F_5=1 a face pentagonal. Como F_3=F_4, chamo x=F_3=F_4. O total de faces é
F = F_3 + F_4 + F_5 = x + x + 1 = 2x + 1.

Passo 3

Cada face de k lados contribui com k arestas, mas cada aresta é contada em duas faces. Logo
2E = 3F_3 + 4F_4 + 5F_5 = 3x + 4x + 5\cdot1 = 7x + 5
e portanto
E = \frac{7x + 5}{2}.

Passo 4

Pela fórmula de Euler para poliedros convexos temos
V - E + F = 2.
Substituindo V=11 e F=2x+1, fica
11 - E + (2x+1) = 2 \quad\Longrightarrow\quad E = 11 + 2x +1 - 2 = 10 + 2x.

Passo 5

Igualando as duas expressões para E:
\frac{7x + 5}{2} = 10 + 2x \quad\Longrightarrow\quad 7x + 5 = 20 + 4x \quad\Longrightarrow\quad 3x = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 5.

Passo 6

Com x=5, o total de faces é
F = 2x + 1 = 2\cdot5 + 1 = 11.

Resposta

O poliedro tem 11 faces.

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