Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
Passo 1
O enunciado trata de um poliedro convexo com 28 arestas cujas faces são apenas triângulos e heptágonos, e diz que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 64 retos. Vamos chamar de T o número de faces triangulares e de H o número de faces heptagonais. Usaremos duas ideias principais:
A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)\cdot180^\circ, ou seja, (n-2)\cdot2 retos.
Cada aresta é contada em duas faces, então a soma dos números de arestas de todas as faces vale o dobro do total de arestas do poliedro.
Passo 2
Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos (em retos) a todas as faces, temos:
– cada triângulo contribui com (3-2)\cdot2=2 retos,
– cada heptágono contribui com (7-2)\cdot2=10 retos.
Logo a condição “soma dos ângulos é 64 retos” vira
2T + 10H = 64.
Passo 3
Contando arestas pelas faces: cada triângulo tem 3 arestas e cada heptágono 7 arestas, mas cada aresta do poliedro aparece em duas faces. Como o poliedro tem 28 arestas,