Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Passo 1

O enunciado trata de um poliedro convexo com 28 arestas cujas faces são apenas triângulos e heptágonos, e diz que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 64 retos. Vamos chamar de T o número de faces triangulares e de H o número de faces heptagonais. Usaremos duas ideias principais:
  1. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)\cdot180^\circ, ou seja, (n-2)\cdot2 retos.
  2. Cada aresta é contada em duas faces, então a soma dos números de arestas de todas as faces vale o dobro do total de arestas do poliedro.

Passo 2

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos (em retos) a todas as faces, temos:
– cada triângulo contribui com (3-2)\cdot2=2 retos,
– cada heptágono contribui com (7-2)\cdot2=10 retos.
Logo a condição “soma dos ângulos é 64 retos” vira
2T + 10H = 64.

Passo 3

Contando arestas pelas faces: cada triângulo tem 3 arestas e cada heptágono 7 arestas, mas cada aresta do poliedro aparece em duas faces. Como o poliedro tem 28 arestas,
3T + 7H = 2\times28 = 56.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2T + 10H = 64,\\\\ 3T + 7H = 56, \end{cases}
dividimos a primeira equação por 2, ficando T + 5H = 32. Substituindo T = 32 - 5H na segunda:
3(32 - 5H) + 7H = 56 \quad\Longrightarrow\quad 96 -15H +7H =56 \quad\Longrightarrow\quad -8H = -40 \quad\Longrightarrow\quad H = 5,
e daí T = 32 - 5\cdot5 = 7.

Resposta

O poliedro tem 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

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