O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
Variando K positivamente a partir de
, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235
(B) 192
© 185
(D) 150
(E) 120
(A) 235
(B) 192
© 185
(D) 150
(E) 120
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o polinômio característico em malha fechada é
e nos pede pra achar, variando
, a partir de qual valor o sistema fica instável.
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz, que serve pra checar se todas as raízes têm parte real negativa (estabilidade). Vamos montar a tabela de Routh e ver quando aparece zero ou sinal trocado na primeira coluna.
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz, que serve pra checar se todas as raízes têm parte real negativa (estabilidade). Vamos montar a tabela de Routh e ver quando aparece zero ou sinal trocado na primeira coluna.
Passo 2
Montamos a tabela de Routh para o polinômio
onde
,
,
,
.
s^3 | 1 | 23
s^2 | 9 | 15+k
s^1 | b | 0
s^0 | 15+k |
A regra pra calcular
(primeiro elemento da linha
) é
Passo 3
Calculemos
Então a primeira coluna da tabela fica
Passo 4
Pelo critério de Routh, todas essas entradas têm que ser positivas para o sistema ser estável. Então:
-
— ok; -
— ok; -
⇒ ⇒ ; -
⇒ , o que para já está garantido.
A condição crítica é
. Para
vira margem de instabilidade (linha
zero) e acima disso já é instável.
Passo 5
Portanto, aumentando
a partir de zero, o sistema vai para instabilidade quando
ultrapassa 192.
Resposta
O valor de
a partir do qual o sistema fica instável é 192.