O polinômio do denominador da função de transferência de um sistema em malha fechada é dado por
s^3+9 s^2+23 s+15+k
Variando K positivamente a partir de K=0, o valor de K a partir do qual o sistema vai para a instabilidade é
(A) 235
(B) 192
© 185
(D) 150
(E) 120

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o polinômio característico em malha fechada é
s^3 + 9s^2 + 23s + (15 + k)
e nos pede pra achar, variando , a partir de qual valor o sistema fica instável.
Conteúdo: Critério de Routh–Hurwitz, que serve pra checar se todas as raízes têm parte real negativa (estabilidade). Vamos montar a tabela de Routh e ver quando aparece zero ou sinal trocado na primeira coluna.

Passo 2

Montamos a tabela de Routh para o polinômio
a3 s^3 + a2 s^2 + a1 s + a0 = 0
onde
b = 9cdot23 - 1cdot(15+k)9 , , , .
     s^3 |  1     | 23  
     s^2 |  9     | 15+k  
     s^1 |  b     |  0  
     s^0 | 15+k   |  
A regra pra calcular (primeiro elemento da linha ) é

Passo 3

Calculemos
b = 207 - (15 + k)9 = 192 - k9
Então a primeira coluna da tabela fica
1, 9, dfrac192 - k9, 15 + k

Passo 4

Pelo critério de Routh, todas essas entradas têm que ser positivas para o sistema ser estável. Então:
  1. — ok;
  2. — ok;
  3. ;
  4. , o que para já está garantido.
A condição crítica é . Para vira margem de instabilidade (linha zero) e acima disso já é instável.

Passo 5

Portanto, aumentando a partir de zero, o sistema vai para instabilidade quando ultrapassa 192.

Resposta

O valor de a partir do qual o sistema fica instável é 192.

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