Uma ponte de tronco simples em uma área remota, consiste de dois troncos paralelos com tábuas transversais a eles. Os troncos são de pinheiro Douglas com diâmetro médio de 300 mm . Um caminhão move-se vagarosamente pela ponte, com vãos de
. Assuma que o peso do caminhão é igualmente distribuído entre os dois troncos.
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que
, apenas um jogo de rodas está na ponte por vez. Dessa forma, o carregamento das rodas em um tronco é o equivalente a uma força concentrada W agindo em qualquer posição ao longo do vão. Além disso o peso de um tronco e das tábuas que ele suporta é equivalente a uma carga uniforme de
agindo sobre o tronco. Determine a carga máxima permitida W com base na
tensão de cisalhamento admissível de
.
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que
tensão de cisalhamento admissível de
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa. \n
Dados fornecidos: \n
Dados fornecidos: \n
- Diâmetro do tronco:
. \n - Vão (comprimento do tronco entre apoios):
. \n - Carga distribuída (peso do tronco + tábuas) equivalente:
agindo uniformemente ao longo do tronco. \n - O caminhão tem seu peso igualmente dividido entre os dois troncos; por isso uma jogada de rodas aplica sobre um tronco uma força concentrada
. \n - Devido à geometria/posição das rodas, essa força concentrada pode agir em qualquer posição ao longo do vão (posição arbitrária). \n
- Tensão de cisalhamento admissível:
. \n
Pergunta (o que o exercício pede): \n - Determinar a carga máxima permitida
com base na tensão de cisalhamento admissível dada.
Passo 2
Escolha da configuração de carregamento que produz maior cisalhamento (caso mais crítico). \n
- Em uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada
em posição medida a partir do apoio esquerdo, a reação no apoio esquerdo devido a é . Essa reação é máxima quando é mínima (isto é, quando a carga está muito próxima do apoio), tendendo a quando a carga está praticamente sobre o apoio. \n - Portanto, para garantir segurança para “qualquer posição ao longo do vão”, adotamos o caso conservador (pior caso) em que a força concentrada
atua tão próxima do apoio que praticamente toda ela aparece como força de cisalhamento no apoio. \n - Além disso existe a contribuição da carga distribuída
ao corte no apoio: a reação devida ao carregamento distribuído é metade da carga total , ou seja . \n - Logo, o esforço cortante máximo a ser suportado no apoio (caso crítico) é, em valor absoluto, aproximadamente
Passo 3
Calcular a contribuição numérica da carga distribuída ao corte. \n
Portanto a parte do corte vindA da carga distribuída é
. \n
Assim, o corte a ser suportado pelo tronco no apoio (caso crítico) é
Assim, o corte a ser suportado pelo tronco no apoio (caso crítico) é
Passo 4
Área da secção transversal circular do tronco. \n
Usamos a fórmula da área do círculo:
Usamos a fórmula da área do círculo:
Substituindo
:
Passo 5
Fórmula para tensão de cisalhamento em uma viga com secção circular e interpretação das variáveis. \n
- A fórmula geral para tensão de cisalhamento transversal num elemento de viga é
(onde é o esforço cortante, é o primeiro momento de área da parte da seção acima do ponto considerado, é o momento de inércia da seção e é a largura local). \n - Para uma seção circular inteira, essa integração conduz ao resultado simples de uso corrente: o valor máximo da tensão de cisalhamento na secção é
Aqui:
-
é o esforço cortante no ponto considerado (N), neste problema o corte no apoio; \n -
é a área da seção transversal (m ); \n -
é a tensão de cisalhamento máxima na madeira (N/m ). \n
Observação intuitiva:é a cisalhamento médio; para a distribuição não uniforme numa seção circular o máximo é vezes esse valor.
Passo 6
Determinar o
admissível a partir da tensão admissível. \n
Impondo e usando
, temos
Impondo
Substituindo
e
:
Calculemos passo a passo:
Passo 7
Relacionar o
com a força concentrada
e obter
. \n
Temos o caso crítico do corte no apoio . Impor
dá
Temos o caso crítico do corte no apoio
Logo
Passo 8
Comentário sobre conservação e interpretação final (breve incentivo). \n
- Usei a posição mais desfavorável da roda (próxima ao apoio) para garantir segurança “em qualquer posição ao longo do vão”; se a roda estivesse no meio do vão a reação devida a
seria menor e, portanto, poderia admitir maior, mas essa hipótese não seria conservadora. \n - Resultado final:
é da ordem de algumas dezenas de quilonewtons — o que significa que cada jogo de rodas pode pesar até cerca de por tronco sob a condição de cisalhamento admissível dada. Força no tronco é grande; sempre bom checar também outras verificações (flexão, flambagem local, condições dos apoios), mas para cisalhamento esse é o limite.