Uma ponte de tronco simples em uma área remota, consiste de dois troncos paralelos com tábuas transversais a eles. Os troncos são de pinheiro Douglas com diâmetro médio de 300 mm . Um caminhão move-se vagarosamente pela ponte, com vãos de 2,5 \mathrm{~m}. Assuma que o peso do caminhão é igualmente distribuído entre os dois troncos.
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que 2,5 \mathrm{~m}, apenas um jogo de rodas está na ponte por vez. Dessa forma, o carregamento das rodas em um tronco é o equivalente a uma força concentrada W agindo em qualquer posição ao longo do vão. Além disso o peso de um tronco e das tábuas que ele suporta é equivalente a uma carga uniforme de 850 \mathrm{~N} / \mathrm{m} agindo sobre o tronco. Determine a carga máxima permitida W com base na
tensão de cisalhamento admissível de 0,8 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa. \n
Dados fornecidos: \n
  • Diâmetro do tronco: d=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}. \n
  • Vão (comprimento do tronco entre apoios): L=2{,}5\\ \mathrm{m}. \n
  • Carga distribuída (peso do tronco + tábuas) equivalente: w=850\\ \mathrm{N}/\mathrm{m} agindo uniformemente ao longo do tronco. \n
  • O caminhão tem seu peso igualmente dividido entre os dois troncos; por isso uma jogada de rodas aplica sobre um tronco uma força concentrada \,W. \n
  • Devido à geometria/posição das rodas, essa força concentrada pode agir em qualquer posição ao longo do vão (posição arbitrária). \n
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{adm}}=0{,}8\\ \mathrm{MPa}=0{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}. \n
    Pergunta (o que o exercício pede): \n
  • Determinar a carga máxima permitida \,W com base na tensão de cisalhamento admissível dada.

Passo 2

Escolha da configuração de carregamento que produz maior cisalhamento (caso mais crítico). \n
  • Em uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada \,W em posição a medida a partir do apoio esquerdo, a reação no apoio esquerdo devido a \,W é W\,(L-a)/L. Essa reação é máxima quando a é mínima (isto é, quando a carga está muito próxima do apoio), tendendo a W quando a carga está praticamente sobre o apoio. \n
  • Portanto, para garantir segurança para “qualquer posição ao longo do vão”, adotamos o caso conservador (pior caso) em que a força concentrada \,W atua tão próxima do apoio que praticamente toda ela aparece como força de cisalhamento no apoio. \n
  • Além disso existe a contribuição da carga distribuída w ao corte no apoio: a reação devida ao carregamento distribuído é metade da carga total wL, ou seja wL/2. \n
  • Logo, o esforço cortante máximo a ser suportado no apoio (caso crítico) é, em valor absoluto, aproximadamente
V_{\max} \approx W + \frac{wL}{2}.

Passo 3

Calcular a contribuição numérica da carga distribuída ao corte. \n
\frac{wL}{2}=\frac{850\\ \mathrm{N/m}\times 2{,}5\\ \mathrm{m}}{2}= \frac{2125\\ \mathrm{N}}{2}=1062{,}5\\ \mathrm{N}.
Portanto a parte do corte vindA da carga distribuída é 1062{,}5\\ \mathrm{N}. \n
Assim, o corte a ser suportado pelo tronco no apoio (caso crítico) é
V_{\max}\approx W + 1062{,}5\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Área da secção transversal circular do tronco. \n
Usamos a fórmula da área do círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=0{,}300\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}300)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0225 = 0{,}0225\pi\\ \mathrm{m}^{2}\approx 0{,}070685\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Fórmula para tensão de cisalhamento em uma viga com secção circular e interpretação das variáveis. \n
  • A fórmula geral para tensão de cisalhamento transversal num elemento de viga é \tau=\dfrac{VQ}{Ib} (onde V é o esforço cortante, Q é o primeiro momento de área da parte da seção acima do ponto considerado, I é o momento de inércia da seção e b é a largura local). \n
  • Para uma seção circular inteira, essa integração conduz ao resultado simples de uso corrente: o valor máximo da tensão de cisalhamento na secção é
\tau_{\max}=\frac{4V}{3A}.
Aqui:
  • V é o esforço cortante no ponto considerado (N), neste problema o corte no apoio; \n
  • A é a área da seção transversal (m ^2); \n
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima na madeira (N/m ^2). \n
    Observação intuitiva: \dfrac{V}{A} é a cisalhamento médio; para a distribuição não uniforme numa seção circular o máximo é \tfrac{4}{3} vezes esse valor.

Passo 6

Determinar o V admissível a partir da tensão admissível. \n
Impondo \tau_{\max}\le \tau_{\mathrm{adm}} e usando \tau_{\max}=\dfrac{4V}{3A}, temos
\frac{4V}{3A}\le \tau_{\mathrm{adm}}\quad\Rightarrow\quad V\le \frac{3A}{4}\,\tau_{\mathrm{adm}}.
Substituindo A\approx 0{,}070685\\ \mathrm{m}^{2} e \tau_{\mathrm{adm}}=0{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}:
V_{\mathrm{allow}}=\frac{3}{4}\times 0{,}070685\times 0{,}8\times10^{6}.
Calculemos passo a passo:
\frac{3}{4}\times 0{,}8\times10^{6}=0{,}6\times10^{6}=600\,000,
V_{\mathrm{allow}}=600\,000\times 0{,}070685\approx 42\,411\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Relacionar o V_{\mathrm{allow}} com a força concentrada W e obter W_{\max}. \n
Temos o caso crítico do corte no apoio V_{\max}\approx W + 1062{,}5\\ \mathrm{N}. Impor V_{\max}\le V_{\mathrm{allow}}
W + 1062{,}5 \le 42\,411\\ \Rightarrow\\ W_{\max}\le 42\,411 - 1062{,}5.
Logo
W_{\max}\approx 41\,348{,}5\\ \mathrm{N}\approx 4{,}13\times10^{4}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Comentário sobre conservação e interpretação final (breve incentivo). \n
  • Usei a posição mais desfavorável da roda (próxima ao apoio) para garantir segurança “em qualquer posição ao longo do vão”; se a roda estivesse no meio do vão a reação devida a W seria menor e, portanto, poderia admitir W maior, mas essa hipótese não seria conservadora. \n
  • Resultado final: W_{\max} é da ordem de algumas dezenas de quilonewtons — o que significa que cada jogo de rodas pode pesar até cerca de 41{,}3\\ \mathrm{kN} por tronco sob a condição de cisalhamento admissível dada. Força no tronco é grande; sempre bom checar também outras verificações (flexão, flambagem local, condições dos apoios), mas para cisalhamento esse é o limite.

Resposta

W_{\max}=4{,}13\times10^{4}\\ \mathrm{N}=41{,}3\\ \mathrm{kN}

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