Uma viga de madeira ABC simplesmente apoiada em A e em B e com um segmento em balanço BC tem altura \mathrm{h}=280 \mathrm{~mm}. O comprimento do vão principal da viga é \mathrm{L}=3,6 m e o comprimento do balanço é L/3. A viga suporta uma carga concentrada de 3P=15 kN no ponto médio do vão principal e uma carga \mathrm{P}=5 \mathrm{kN} na extremidade livre do balanço. A viga tem peso específico \gamma=5,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão cisalhante admissível de 0,7 MPa.

Passo 1

O enunciado dá uma viga de madeira com as seguintes informações (peguei os comprimentos e posições das cargas da figura fornecida):
  • altura da seção transversal \,h=280\\ \mathrm{mm}.
  • vão principal \,L=3{,}6\\ \mathrm{m}.
  • balanço \,=L/3=1{,}2\\ \mathrm{m} (extensão para a direita do apoio B, até C).
  • carga concentrada no ponto médio do vão principal \,3P=15\\ \mathrm{kN} (logo \,P=5\\ \mathrm{kN}).
  • carga concentrada na extremidade do balanço \,P=5\\ \mathrm{kN}.
  • peso específico da madeira \,\gamma=5{,}5\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • tensão cisalhante admissível \,\tau_{adm}=0{,}7\\ \mathrm{MPa}.
O que a questão pede: determinar a largura \,b da viga (da seção retangular b\times h) exigida para que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse \,\tau_{adm}.

Passo 2

Primeiro vamos modelar o carregamento e obter as reações nos apoios A (em x=0) e B (em x=L). Precisamos também do carregamento próprio (peso da viga), que é uma carga distribuída ao longo de todo o comprimento A\!-\!C.
Cálculo da carga distribuída por metro: a área da seção é \,A_s=b\cdot h (com b em metros quando usamos \gamma em \mathrm{kN/m^3}). Assim o peso por unidade de comprimento é
w=\gamma\cdot b\cdot h.
Aqui \gamma=5{,}5\\ \mathrm{kN/m^3} e h=0{,}28\\ \mathrm{m}, então
w=5{,}5\cdot b\cdot 0{,}28=1{,}54\;b\quad(\mathrm{kN/m}),
onde b está em metros. O comprimento total da viga A\!-\!C é
L_{tot}=L+\frac{L}{3}=\frac{4}{3}L=4{,}8\\ \mathrm{m}.
Agora escrevemos as equações de equilíbrio verticais e de momentos para achar as reações R_A e R_B. Somatório das forças verticais:
R_A+R_B=3P+P+wL_{tot}.
Somatório dos momentos em A (positivos no sentido que torna R_B positivo):
R_B\cdot L - 3P\cdot\frac{L}{2} - P\cdot\left(L+\frac{L}{3}\right) - wL_{tot}\cdot\frac{L_{tot}}{2}=0.

Passo 3

Substituímos os valores numéricos (com P=5\\ \mathrm{kN}, 3P=15\\ \mathrm{kN}, L=3{,}6\\ \mathrm{m}, L_{tot}=4{,}8\\ \mathrm{m}, w=1{,}54\,b\\ \mathrm{(kN/m)}) na equação do momento em A:
R_B=\frac{3P\cdot\frac{L}{2}+P\cdot\left(L+\frac{L}{3}\right)+wL_{tot}\cdot\frac{L_{tot}}{2}}{L}.
Calculando termo a termo:
3P\cdot\frac{L}{2}=15\cdot 1{,}8=27\\ \mathrm{kN\cdot m},
P\cdot\left(L+\frac{L}{3}\right)=5\cdot 4{,}8=24\\ \mathrm{kN\cdot m},
wL_{tot}\cdot\frac{L_{tot}}{2}=(1{,}54\,b)\cdot 4{,}8\cdot 2{,}4=17{,}7408\,b\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Logo
R_B=\frac{27+24+17{,}7408\,b}{3{,}6}=14{,}1667+4{,}927999\,b\quad(\mathrm{kN}).
Pela soma das forças verticais obtemos R_A:
R_A=3P+P+wL_{tot}-R_B=20+7{,}392\,b-R_B,
portanto
R_A=5{,}833333+2{,}464001\,b\quad(\mathrm{kN}).

Passo 4

Agora determinamos onde ocorre a maior força cortante interna (maior |V|). O ponto crítico normalmente é junto aos apoios onde há descontinuidade. Calculemos o esforço cortante imediatamente à esquerda de B (no trecho do vão principal) e imediatamente à direita de B (no trecho do balanço).
  • Cortante imediatamente à esquerda de B (somando forças para a esquerda até a seção em x=L^{-}):
V_{B^-}=R_A-3P-wL.
Substituindo R_A e wL=(1{,}54\,b)\cdot 3{,}6=5{,}544\,b, fica
V_{B^-}=5{,}833333+2{,}464001\,b-15-5{,}544\,b=-9{,}166667-3{,}079999\,b\quad(\mathrm{kN}).
O módulo é |V_{B^-}|=9{,}166667+3{,}079999\,b.
  • Cortante imediatamente à direita de B (no balanço, a soma dos esforços à direita do corte é a carga do balanço):
V_{B^+}=P+w\cdot\frac{L}{3}=5+1{,}54\,b\cdot 1{,}2=5+1{,}848\,b\quad(\mathrm{kN}).
Compare: para b>0 temos |V_{B^-}|=9{,}166667+3{,}079999\,b e V_{B^+}=5+1{,}848\,b. Observa-se que |V_{B^-}|>V_{B^+} para todo b>0, portanto o máximo valor absoluto do cortante está na seção imediatamente à esquerda do apoio B. Assim o cortante crítico é
V_{max}=|V_{B^-}|=9{,}166667+3{,}079999\,b\quad(\mathrm{kN}),
onde aqui b está em metros.

Passo 5

Agora relacionamos o cortante interno com a tensão cisalhante admissível para seção retangular. Para seção retangular a distribuição de tensões cisalhantes é parabólica e o valor máximo na linha neutra é
\tau_{max}=\frac{3}{2}\cdot\frac{V}{A},
onde V é o cortante interno (valor absoluto) na seção considerada e A é a área da seção transversal A=b\cdot h. Explicando as variáveis:
  • \tau_{max} é a tensão cisalhante máxima (em \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}),
  • V é o esforço cortante na seção (em \mathrm{N}),
  • A=b\cdot h é a área da seção (com b,h em mm para obter \tau em \mathrm{N/mm^2}).
A condição de segurança é \tau_{max}\le\tau_{adm}=0{,}7\\ \mathrm{MPa}. Vamos trabalhar com b em milímetros para a fórmula final. Seja b_{mm} a largura em \mathrm{mm}. Temos b em metros = b_{mm}/1000. O cortante crítico em \mathrm{kN} é
V_{max}=9{,}166667+3{,}079999\left(\frac{b_{mm}}{1000}\right)=9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm}\quad(\mathrm{kN}).
Convertendo para Newtons: V_{N}=1000\,V_{max}. A desigualdade \tau_{max}\le 0{,}7\\ \mathrm{N/mm^2} fica
\frac{3}{2}\cdot\frac{V_N}{b_{mm}\cdot h_{mm}}\le 0{,}7.
Substituindo h_{mm}=280 e V_N=1000\,(9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm}) obtemos
\frac{3}{2}\cdot\frac{1000\,(9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm})}{b_{mm}\cdot 280}\le 0{,}7.
Multiplicando e rearranjando (fazer contas passo a passo):
\frac{1{,}5\cdot 1000\,(9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm})}{280}\le 0{,}7,
\frac{13750+4{,}6199985\,b_{mm}}{280}\le 0{,}7,
13750+4{,}6199985\,b_{mm}\le 0{,}7\cdot 280=196,
isto deve ser corrigido: atenção, cometi divisão invertida ao isolar; refazendo corretamente:
Voltando um passo: a inequação correta é
\frac{1{,}5\cdot 1000\,(9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm})}{b_{mm}\cdot 280}\le 0{,}7.
Multiplicando ambos os lados por b_{mm}\cdot 280:
1{,}5\cdot 1000\,(9{,}166667+0{,}003079999\,b_{mm})\le 0{,}7\cdot b_{mm}\cdot 280.
Calculando o lado esquerdo:
1{,}5\cdot 1000\cdot 9{,}166667=13750,\quad 1{,}5\cdot 1000\cdot 0{,}003079999=4{,}6199985,
portanto
13750+4{,}6199985\,b_{mm}\le 196\,b_{mm}.
Agora isolamos b_{mm}:
13750\le (196-4{,}6199985)\,b_{mm}=191{,}3800015\,b_{mm},
b_{mm}\ge \frac{13750}{191{,}3800015}=71{,}828\\ \mathrm{mm}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Portanto a largura mínima requerida pela verificação de cisalhamento é aproximadamente \,71{,}83\\ \mathrm{mm}. Em projeto prático, escolhe-se uma largura comercial ligeiramente maior (por exemplo \,72\\ \mathrm{mm} ou \,75\\ \mathrm{mm}), mas o valor mínimo calculado é o acima.

Resposta

b=71{,}83\\ \mathrm{mm}

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