Uma viga de madeira ABC simplesmente apoiada em A e em B e com um segmento em balanço BC tem altura
. O comprimento do vão principal da viga é
m e o comprimento do balanço é L/3. A viga suporta uma carga concentrada de 3P=15 kN no ponto médio do vão principal e uma carga
na extremidade livre do balanço. A viga tem peso específico
.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão cisalhante admissível de 0,7 MPa.
determinar a largura b da viga, exigida com base na tensão cisalhante admissível de 0,7 MPa.
Passo 1
O enunciado dá uma viga de madeira com as seguintes informações (peguei os comprimentos e posições das cargas da figura fornecida):
- altura da seção transversal
. - vão principal
. - balanço
(extensão para a direita do apoio , até ). - carga concentrada no ponto médio do vão principal
(logo ). - carga concentrada na extremidade do balanço
. - peso específico da madeira
. - tensão cisalhante admissível
.
O que a questão pede: determinar a largura
da viga (da seção retangular
) exigida para que a tensão cisalhante máxima não ultrapasse
.
Passo 2
Primeiro vamos modelar o carregamento e obter as reações nos apoios
(em
) e
(em
). Precisamos também do carregamento próprio (peso da viga), que é uma carga distribuída ao longo de todo o comprimento
.
Cálculo da carga distribuída por metro: a área da seção é
(com
em metros quando usamos
em
). Assim o peso por unidade de comprimento é
Aqui
e
, então
onde
está em metros. O comprimento total da viga
é
Agora escrevemos as equações de equilíbrio verticais e de momentos para achar as reações
e
. Somatório das forças verticais:
Somatório dos momentos em
(positivos no sentido que torna
positivo):
Passo 3
Substituímos os valores numéricos (com
,
,
,
,
) na equação do momento em
:
Calculando termo a termo:
Logo
Pela soma das forças verticais obtemos
:
portanto
Passo 4
Agora determinamos onde ocorre a maior força cortante interna (maior
). O ponto crítico normalmente é junto aos apoios onde há descontinuidade. Calculemos o esforço cortante imediatamente à esquerda de
(no trecho do vão principal) e imediatamente à direita de
(no trecho do balanço).
- Cortante imediatamente à esquerda de
(somando forças para a esquerda até a seção em ):
Substituindo
e
, fica
O módulo é
.
- Cortante imediatamente à direita de
(no balanço, a soma dos esforços à direita do corte é a carga do balanço):
Compare: para
temos
e
. Observa-se que
para todo
, portanto o máximo valor absoluto do cortante está na seção imediatamente à esquerda do apoio
. Assim o cortante crítico é
onde aqui
está em metros.
Passo 5
Agora relacionamos o cortante interno com a tensão cisalhante admissível para seção retangular. Para seção retangular a distribuição de tensões cisalhantes é parabólica e o valor máximo na linha neutra é
onde
é o cortante interno (valor absoluto) na seção considerada e
é a área da seção transversal
. Explicando as variáveis:
-
é a tensão cisalhante máxima (em ou ), -
é o esforço cortante na seção (em ), -
é a área da seção (com em mm para obter em ).
A condição de segurança é
. Vamos trabalhar com
em milímetros para a fórmula final. Seja
a largura em
. Temos
em metros =
. O cortante crítico em
é
Convertendo para Newtons:
. A desigualdade
fica
Substituindo
e
obtemos
Multiplicando e rearranjando (fazer contas passo a passo):
isto deve ser corrigido: atenção, cometi divisão invertida ao isolar; refazendo corretamente:
Voltando um passo: a inequação correta é
Multiplicando ambos os lados por
:
Calculando o lado esquerdo:
portanto
Agora isolamos
:
Passo 6
Portanto a largura mínima requerida pela verificação de cisalhamento é aproximadamente
. Em projeto prático, escolhe-se uma largura comercial ligeiramente maior (por exemplo
ou
), mas o valor mínimo calculado é o acima.