Uma ponte de tronco simples em uma área remota, consiste de dois troncos paralelos com tábuas transversais a eles. Os troncos são de pinheiro Douglas com diâmetro médio de 300 mm . Um caminhão move-se vagarosamente pela ponte, com vãos de 2,5 \mathrm{~m}. Assuma que o peso do caminhão é igualmente distribuído entre os dois troncos.
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que 2,5 \mathrm{~m}, apenas um jogo de rodas está na ponte por vez. Dessa forma, o carregamento das rodas em um tronco é o equivalente a uma força concentrada W agindo em qualquer posição ao longo do vão. Além disso o peso de um tronco e das tábuas que ele suporta é equivalente a uma carga uniforme de 850 \mathrm{~N} / \mathrm{m} agindo sobre o tronco. Determine a carga máxima permitida W com base na
tensão normal admissível de 7,5 MPa

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a carga concentrada máxima W (força em um tronco) que pode atuar num vão simplesmente apoiado de 2{,}5\\ \mathrm{m} sem que a tensão normal por flexão exceda o valor admissível 7{,}5\\ \mathrm{MPa}. Informações importantes dadas:
  • Diâmetro do tronco: D=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}.
  • Vão (comprimento do vão entre apoios): L=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Carga uniforme (peso do tronco + tábuas sobre o tronco): w=850\\ \mathrm{N/m} (age ao longo de todo o vão).
  • O caminhão transfere, em cada tronco, uma carga concentrada W (porque o peso é dividido entre os dois troncos e apenas um jogo de rodas está na ponte por vez).
  • Tensão normal admissível (por flexão): \sigma_{\text{adm}}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}=7{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 2

Decisão do método e conceito principal (aula rápida e prática): para vigas simplesmente apoiadas a tensão por flexão máxima é dada por
\sigma=\frac{M_{\max}\,c}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal máxima por flexão (N/m ^2),
  • M_{\max} é o momento fletor máximo (N·m),
  • I é o momento de inércia da seção transversal (m ^4),
  • c é a distância do eixo neutro à fibra mais afastada (m).
Uma forma prática é usar o módulo resistente S definido por S=\dfrac{I}{c}. Então a tensão máxima por flexão é
\sigma=\frac{M_{\max}}{S}.
Explicação curta: M tenta “curvar” a peça; S é uma característica geométrica que mede a resistência da seção à flexão. Para não exceder o admissível, impomos \dfrac{M_{\max}}{S}\le\sigma_{\text{adm}}.

Passo 3

Calcular o módulo resistente S para seção circular maciça (tronco):
  • Para seção circular de diâmetro D:
I=\frac{\pi D^{4}}{64},\qquad c=\frac{D}{2}\quad\Rightarrow\quad S=\frac{I}{c}=\frac{\pi D^{3}}{32}.
Agora substituo D=0,3\\ \mathrm{m}:
S=\frac{\pi(0,3)^{3}}{32}.
Calculo numérico (faça igualzinho na prova sem calculadora aproximando \pi por 3{,}1416 se precisar):
(0,3)^{3}=0,027,
S=\frac{\pi\cdot0,027}{32}\approx0{,}0026506\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Encontrar o momento fletor máximo devido à carga concentrada W colocada em qualquer posição ao longo do vão.
  • Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada P em uma posição a a partir do apoio esquerdo, o maior momento causado por essa carga (sobre toda a viga) é M=P\cdot a\cdot(L-a)/L.
  • Esse produto a(L-a) é máximo quando a=L/2 (simetria), portanto o maior momento produzido por uma carga concentrada qualquer é obtido quando a carga está em metade do vão e vale
M_{W,\max}=\frac{W\,L}{4}.
Portanto, para segurança máxima devemos considerar W atuando no meio do vão.

Passo 5

Encontrar o momento fletor máximo devido à carga distribuída w (uniforme) sobre o vão:
  • Para uma carga distribuída uniforme w (N/m) em uma viga simplesmente apoiada de comprimento L, o momento máximo no meio do vão é
M_{w,\max}=\frac{w\,L^{2}}{8}.
Substituo w=850\\ \mathrm{N/m} e L=2{,}5\\ \mathrm{m}:
L^{2}=(2{,}5)^{2}=6{,}25,
M_{w,\max}=\frac{850\cdot6{,}25}{8}=\frac{5312{,}5}{8}=664{,}0625\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Somar os momentos (superposição linear): como ambos os carregamentos atuam simultaneamente, o momento fletor máximo total que causa a maior tensão é
M_{\max}=M_{W,\max}+M_{w,\max}=\frac{W\,L}{4}+\frac{w\,L^{2}}{8}.
Para garantir segurança, impomos
\frac{M_{\max}}{S}\le\sigma_{\text{adm}}.
Substituindo M_{\max}:
\frac{\dfrac{W\,L}{4}+\dfrac{w\,L^{2}}{8}}{S}\le\sigma_{\text{adm}}.
Isolando W:
\frac{W\,L}{4}\le\sigma_{\text{adm}}\,S-\frac{w\,L^{2}}{8},
W\le\frac{4}{L}\left(\sigma_{\text{adm}}\,S-\frac{w\,L^{2}}{8}\right).

Passo 7

Substituir valores numéricos (tudo em SI). Relembrando os valores:
\;L=2{,}5\\ \mathrm{m},\;w=850\\ \mathrm{N/m},\;S\approx0{,}0026506\\ \mathrm{m^{3}},\;\sigma_{\text{adm}}=7{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Calculo de \sigma_{\text{adm}}\,S:
\sigma_{\text{adm}}\,S=(7{,}5\times10^{6})\cdot0{,}0026506\approx19879{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}.
Já calculamos M_{w,\max}=664{,}0625\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora:
W_{\max}=\frac{4}{L}\left(19879{,}1-664{,}0625\right).
Subtraindo:
19879{,}1-664{,}0625\approx19215{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.
Dividindo e multiplicando:
\frac{4}{L}=\frac{4}{2{,}5}=1{,}6,
W_{\max}\approx1{,}6\cdot19215{,}0\approx30744\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação do resultado e forma conveniente de apresentar:
  • W_{\max}\approx30744\\ \mathrm{N}, que corresponde a cerca de 30{,}7\\ \mathrm{kN}.
  • Lembre-se: esse W é a carga equivalente que atua em UM tronco (ou seja, a metade do peso total do caminhão que fica sobre os dois troncos). É a força concentrada máxima permitida por jogo de rodas em um tronco para não exceder \sigma_{\text{adm}}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

W_{\max}\approx30744\\ \mathrm{N} (aprox. 30{,}7\\ \mathrm{kN}).

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