Uma ponte de tronco simples em uma área remota, consiste de dois troncos paralelos com tábuas transversais a eles. Os troncos são de pinheiro Douglas com diâmetro médio de 300 mm . Um caminhão move-se vagarosamente pela ponte, com vãos de
. Assuma que o peso do caminhão é igualmente distribuído entre os dois troncos.
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que
, apenas um jogo de rodas está na ponte por vez. Dessa forma, o carregamento das rodas em um tronco é o equivalente a uma força concentrada W agindo em qualquer posição ao longo do vão. Além disso o peso de um tronco e das tábuas que ele suporta é equivalente a uma carga uniforme de
agindo sobre o tronco. Determine a carga máxima permitida W com base na
tensão normal admissível de 7,5 MPa
Devido à distância entre eixos do caminhão ser maior do que
tensão normal admissível de 7,5 MPa
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a carga concentrada máxima
(força em um tronco) que pode atuar num vão simplesmente apoiado de
sem que a tensão normal por flexão exceda o valor admissível
. Informações importantes dadas:
- Diâmetro do tronco:
. - Vão (comprimento do vão entre apoios):
. - Carga uniforme (peso do tronco + tábuas sobre o tronco):
(age ao longo de todo o vão). - O caminhão transfere, em cada tronco, uma carga concentrada
(porque o peso é dividido entre os dois troncos e apenas um jogo de rodas está na ponte por vez). - Tensão normal admissível (por flexão):
.
Passo 2
Decisão do método e conceito principal (aula rápida e prática): para vigas simplesmente apoiadas a tensão por flexão máxima é dada por
onde:
-
é a tensão normal máxima por flexão (N/m ), -
é o momento fletor máximo (N·m), -
é o momento de inércia da seção transversal (m ), -
é a distância do eixo neutro à fibra mais afastada (m).
Uma forma prática é usar o módulo resistente
definido por
. Então a tensão máxima por flexão é
Explicação curta:
tenta “curvar” a peça;
é uma característica geométrica que mede a resistência da seção à flexão. Para não exceder o admissível, impomos
.
Passo 3
Calcular o módulo resistente
para seção circular maciça (tronco):
- Para seção circular de diâmetro
:
Agora substituo
:
Calculo numérico (faça igualzinho na prova sem calculadora aproximando
por
se precisar):
Passo 4
Encontrar o momento fletor máximo devido à carga concentrada
colocada em qualquer posição ao longo do vão.
- Para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada
em uma posição a partir do apoio esquerdo, o maior momento causado por essa carga (sobre toda a viga) é . - Esse produto
é máximo quando (simetria), portanto o maior momento produzido por uma carga concentrada qualquer é obtido quando a carga está em metade do vão e vale
Portanto, para segurança máxima devemos considerar
atuando no meio do vão.
Passo 5
Encontrar o momento fletor máximo devido à carga distribuída
(uniforme) sobre o vão:
- Para uma carga distribuída uniforme
(N/m) em uma viga simplesmente apoiada de comprimento , o momento máximo no meio do vão é
Substituo
e
:
Passo 6
Somar os momentos (superposição linear): como ambos os carregamentos atuam simultaneamente, o momento fletor máximo total que causa a maior tensão é
Para garantir segurança, impomos
Substituindo
:
Isolando
:
Passo 7
Substituir valores numéricos (tudo em SI). Relembrando os valores:
Calculo de
:
Já calculamos
.
Agora:
Subtraindo:
Dividindo e multiplicando:
Passo 8
Interpretação do resultado e forma conveniente de apresentar:
-
, que corresponde a cerca de . - Lembre-se: esse
é a carga equivalente que atua em UM tronco (ou seja, a metade do peso total do caminhão que fica sobre os dois troncos). É a força concentrada máxima permitida por jogo de rodas em um tronco para não exceder .